% 例題A2.2.9：確率の最大値 （One More）★★★★
1個のさいころを14回投げるとき,1の目が何回出る確率が最も大きくなるか.
% 解答（例題A2.2.9）
さいころを1回投げたとき,1の目が出る確率は$\frac{1}{6}$であるから,さいころを14回投げたときに1の目が$n$回（$0 \leqq n \leqq 14$）出る確率$p_n$は,$p_n={ }_{14} \mathrm{C}_n\left(\frac{1}{6}\right)^n\left(\frac{5}{6}\right)^{14-n}=\frac{14!}{n!(14-n)!} \cdot \frac{5^{14-n}}{6^{14}}$n=0,1,2,\ldots,13$において,$p_{n+1}$と$p_n$の比を求めると,$\begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &=\left\{\frac{14!}{(n+1)!(13-n)!} \cdot \frac{5^{13-n}}{6^{14}}\right\} \div\left\{\frac{14!}{n!(14-n)!} \cdot \frac{5^{14-n}}{6^{14}}\right\} \\ &=\frac{n!(14-n)!}{(n+1)!(13-n)!} \cdot \frac{5^{13-n}}{5^{14-n}} \\ &=\frac{14-n}{5(n+1)} \end{aligned}$(i)$\frac{p_{n+1}}{p_n} \geqq 1$のとき$\frac{14-n}{5(n+1)} \geqq 1$より,$14-n \geqq 5(n+1)$であるから,$n \leqq \frac{3}{2}$したがって,$n=0,1$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}>1$より,$p_n<p_{n+1}$(ii)$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$のとき$\frac{14-n}{5(n+1)}<1$より,$14-n<5(n+1)$であるから,$n>\frac{3}{2}$したがって,$n=2,3,\ldots,13$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$より,$p_n>p_{n+1}$(i),(ii)より,$p_1p_3>p_4> \cdots >p_{13}>p_{14}$よって,1の目が2回出る確率が最も大きい.
% 問題A2.2.9
1個のさいころを18回投げるとき,2の目が何回出る確率が最も大きくなるか.
% 解答A2.2.9
さいころを1回投げたとき,2の目が出る確率は$\frac{1}{6}$であるから,さいころを18回投げたときに2の目が$n$回（$0 \leqq n \leqq 18$）出る確率$p_n$は,$p_n={ }_{18} \mathrm{C}_n\left(\frac{1}{6}\right)^n\left(\frac{5}{6}\right)^{18-n}=\frac{18!}{n!(18-n)!} \cdot \frac{5^{18-n}}{6^{18}}$n=0,1,2,\ldots,17$において,$p_{n+1}$と$p_n$の比を求めると,$\begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &=\left\{\frac{18!}{(n+1)!(17-n)!} \cdot \frac{5^{17-n}}{6^{18}}\right\} \div\left\{\frac{18!}{n!(18-n)!} \cdot \frac{5^{18-n}}{6^{18}}\right\} \\ &=\frac{n!(18-n)!}{(n+1)!(17-n)!} \cdot \frac{5^{17-n}}{5^{18-n}}=\frac{18-n}{5(n+1)} \end{aligned}$(i)$\frac{p_{n+1}}{p_n} \geqq 1$のとき$\frac{18-n}{5(n+1)} \geqq 1$より,$18-n \geqq 5(n+1)$であるから,$n \leqq \frac{13}{6}$したがって,$n=0,1,2$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}>1$より,$p_n<p_{n+1}$(ii)$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$のとき$\frac{18-n}{5(n+1)}<1$より,$18-n<5(n+1)$であるから,$n>\frac{13}{6}$したがって,$n=3,4,\ldots,17$のとき,$\frac{p_{n+1}}{p_n}<1$より,$p_n>p_{n+1}$(i),(ii)より,$p_2p_4>p_5> \cdots >p_{17}>p_{18}$よって,2の目が3回出る確率が最も大きい.
