【数学A】例題2.2.12：確率の乗法定理2（One More）★★

% 例題A2.2.12：確率の乗法定理2 （One More）★★
箱Aには赤玉6個と白玉3個,箱Bには赤玉4個と白玉4個が入っている.箱Aから2個の玉を同時に取り出して箱Bに入れた後,箱Bから2個の玉を同時に取り出すとき,2個とも赤玉である確率を求めよ.

% 解答（例題A2.2.12）
箱Aから取り出す2個の玉の色に応じて,次の3つの場合がある. (i)箱Aから赤玉を2個取り出すとき 箱Bには赤玉6個と白玉4個が入っているから,$$\frac{{ }_6 \mathrm{C}_2}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_6 \mathrm{C}_2}{{ }_{10} \mathrm{C}_2}=\frac{5}{36}$$(ii)箱Aから赤玉と白玉を1個ずつ取り出すとき 箱Bには赤玉5個と白玉5個が入っているから,$$\frac{{ }_6 \mathrm{C}_1 \times{ }_3 \mathrm{C}_1}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_5 \mathrm{C}_2}{{ }_{10} \mathrm{C}_2}=\frac{1}{9}$$(iii)箱Aから白玉を2個取り出すとき 箱Bには赤玉4個と白玉6個が入っているから,$$\frac{{ }_3 \mathrm{C}_2}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_4 \mathrm{C}_2}{{ }_{10} \mathrm{C}_2}=\frac{1}{90}$$よって,(i)〜(iii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$\frac{5}{36}+\frac{1}{9}+\frac{1}{90}=\frac{47}{180}$$

% 問題A2.2.12
袋Aには赤玉5個と白玉4個,袋Bには赤玉3個と白玉6個が入っている.袋Aから2個の玉を同時に取り出して袋Bに入れた後,袋Bから2個の玉を同時に取り出すとき,2個とも白玉である確率を求めよ.

% 解答A2.2.12
袋Aから取り出す2個の玉の色に応じて,次の3つの場合がある. (i)袋Aから白玉を2個取り出すとき 袋Bには赤玉3個と白玉8個が入っているから,$\frac{{ }_4 \mathrm{C}_2}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_8 \mathrm{C}_2}{{ }_{11} \mathrm{C}_2}=\frac{14}{165}$(ii)袋Aから赤玉と白玉を1個ずつ取り出すとき 袋Bには赤玉4個と白玉7個が入っているから,$\frac{{ }_5 \mathrm{C}_1 \times{ }_4 \mathrm{C}_1}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_7 \mathrm{C}_2}{{ }_{11} \mathrm{C}_2}=\frac{7}{33}$(iii)袋Aから赤玉を2個取り出すとき 袋Bには赤玉5個と白玉6個が入っているから,$\frac{{ }_5 \mathrm{C}_2}{{ }_9 \mathrm{C}_2} \times\frac{{ }_6 \mathrm{C}_2}{{ }_{11} \mathrm{C}_2}=\frac{5}{66}$よって,(i)〜(iii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$\frac{14}{165}+\frac{7}{33}+\frac{5}{66}=\frac{41}{110}$$