% 例題A2.2.13：条件付き確率2 （One More）★★★
ある製品を製造する2つの工場$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$があり,a工場で製造される製品は全体の$60\%$である.また,a工場で製造された製品には$5 \%$の不良品が含まれており,b工場で製造された製品には$2 \%$の不良品が含まれている.2つの工場で製造された多くの製品の中から,無作為に1個の製品を取り出したとき,次の確率を求めよ. (1)取り出した製品が不良品である確率 (2)取り出した製品が不良品であったとき,それがa工場の製品である確率
% 解答（例題A2.2.13）
取り出した1個の製品がa工場からの製品である事象を$A$,b工場からの製品である事象を$B$,不良品である事象を$E$とすると,a工場で製造される製品は全体の$60\%$であるので,$$P(A)=\frac{60}{100}=\frac{3}{5},P(B)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$$a工場とb工場における不良品の割合はそれぞれ$5 \%$,$2 \%$であるから,$$P_A(E)=\frac{5}{100}=\frac{1}{20},P_B(E)=\frac{2}{100}=\frac{1}{50}$$(1)$$\begin{aligned} & P(A \cap E)=P(A)\times P_A(E)=\frac{3}{5} \times\frac{1}{20}=\frac{3}{100},\\ & P(B \cap E)=P(B)\times P_B(E)=\frac{2}{5} \times\frac{1}{50}=\frac{1}{125} \end{aligned}$$よって,求める確率は,$$P(E)=P(A \cap E)+P(B \cap E)=\frac{3}{100}+\frac{1}{125}=\frac{19}{500}$$(2) 不良品であったときに,それがa工場の製品である確率は$P_E(A)$であるから,$$P_E(A)=\frac{P(A \cap E)}{P(E)}=\frac{3}{100} \div\frac{19}{500}=\frac{15}{19}$$
% 問題A2.2.13
ある地域に2つの病院$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$があり,a病院で実施される検査は全体の$70\%$である.また,a病院で実施された検査では$4 \%$の誤判定が含まれており,b病院で実施された検査では$3 \%$の誤判定が含まれている.2つの病院で実施された多くの検査の中から,無作為に1件の検査を選んだとき,次の確率を求めよ. (1)選んだ検査で誤判定が発生している確率 (2)選んだ検査で誤判定が発生していたとき,それがa病院で実施されたものである確率
% 解答A2.2.13
選んだ1件の検査がa病院で実施されたものである事象を$A$,b病院で実施されたものである事象を$B$,誤判定が発生している事象を$E$とすると,a病院で実施される検査は全体の$70\%$であるので,$$P(A)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10},P(B)=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}$$a病院とb病院で実施される検査の誤判定率はそれぞれ$4 \%$,$3 \%$であるから,$$P_A(E)=\frac{4}{100}=\frac{1}{25},P_B(E)=\frac{3}{100}$$(1)$$\begin{aligned} & P(A \cap E)=P(A)\times P_A(E)=\frac{7}{10} \times\frac{1}{25}=\frac{7}{250},\\ & P(B \cap E)=P(B)\times P_B(E)=\frac{3}{10} \times\frac{3}{100}=\frac{9}{1000} \end{aligned}$$よって,求める確率は,$$P(E)=P(A \cap E)+P(B \cap E)=\frac{7}{250}+\frac{9}{1000}=\frac{37}{1000}$$(2) 誤判定が発生していたときに,それがa病院で実施されたものである確率は$P_E(A)$であるから,$$P_E(A)=\frac{P(A \cap E)}{P(E)}=\frac{7}{250}\div\frac{37}{1000}=\frac{28}{37}$$
