% 例題A2.2.14：ベイズの定理 （One More）★★★★
3つの箱A,B,Cがあり,箱Aには赤玉2個と白玉6個,箱Bには赤玉3個と白玉3個,箱Cには赤玉4個と白玉8個が入っている.3つの箱のうち1つを無作為に選び,その箱から1個の玉を取り出したところ赤玉であった.このとき,その赤玉が箱Aから取り出された玉である確率を求めよ.
% 解答（例題A2.2.14）
箱Aを選ぶ事象を$A$,箱Bを選ぶ事象を$B$,箱Cを選ぶ事象を$C$,赤玉を取り出す事象を$W$とする. 箱A,箱B,箱Cを選ぶ確率$P(A),P(B),P(C)$は,すべて$\frac{1}{3}$したがって,赤玉を取り出す確率は,$$\begin{aligned} P(W)&=P(A \cap W)+P(B \cap W)+P(C \cap W)\\ &=P(A)P_A(W)+P(B)P_B(W)+P(C)P_C(W)\\ &=\frac{1}{3}\times\frac{2}{8}+\frac{1}{3} \times\frac{3}{6}+\frac{1}{3} \times\frac{4}{12}=\frac{13}{36} \end{aligned}$$よって,求める確率は,$$P_W(A)=\frac{P(W \cap A)}{P(W)}=\frac{P(A \cap W)}{P(W)}=\frac{P(A)P_A(W)}{P(W)}=\frac{1}{12} \div\frac{13}{36}=\frac{3}{13}$$
% 問題A2.2.14
3つの袋A,B,Cがあり,袋Aには赤いボール3個と青いボール5個,袋Bには赤いボール2個と青いボール6個,袋Cには赤いボール4個と青いボール4個が入っている.3つの袋のうち1つを無作為に選び,その袋から1個のボールを取り出したところ赤いボールであった.このとき,その赤いボールが袋Bから取り出されたものである確率を求めよ.
% 解答A2.2.14
袋Aを選ぶ事象を$A$,袋Bを選ぶ事象を$B$,袋Cを選ぶ事象を$C$,赤いボールを取り出す事象を$W$とする. 袋A,袋B,袋Cを選ぶ確率$P(A),P(B),P(C)$は,すべて$\frac{1}{3}$それぞれの袋から赤いボールを取り出す条件付き確率は,$$P_A(W)=\frac{3}{8},P_B(W)=\frac{2}{8},P_C(W)=\frac{4}{8}$$したがって,赤いボールを取り出す確率は,$$\begin{aligned} P(W)&=P(A \cap W)+P(B \cap W)+P(C \cap W)\\ &=P(A)P_A(W)+P(B)P_B(W)+P(C)P_C(W)\\ &=\frac{1}{3} \times\frac{3}{8}+\frac{1}{3} \times\frac{2}{8}+\frac{1}{3} \times\frac{4}{8}=\frac{3}{8} \end{aligned}$$よって,求める確率は,$$P_W(B)=\frac{P(B \cap W)}{P(W)}=\frac{P(B)P_B(W)}{P(W)}=\frac{1}{12} \div\frac{3}{8}=\frac{2}{9}$$
