% 例題A2.2.15：期待値（さいころの目） （One More）★
2個のさいころを同時に投げるとき,出る目の差の絶対値の期待値を求めよ.
% 解答（例題A2.2.15）
2個のさいころA,Bとすると,目の差の絶対値は,右の表のようになり,目の出方は$6 \times 6=36(\text{通り})$したがって,A,Bの出た目の差の絶対値を$X$とすると,$X$のとりうる値とそれぞれの値をとる確率は,下の表のようになる. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A$\backslash$B&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&0&1&2&3&4&5\\ \hline 2&1&0&1&2&3&4\\ \hline 3&2&1&0&1&2&3\\ \hline 4&3&2&1&0&1&2\\ \hline 5&4&3&2&1&0&1\\ \hline 6&5&4&3&2&1&0\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline$X$&0&1&2&3&4&5&計\\ \hline 確率&$\frac{6}{36}$&$\frac{10}{36}$&$\frac{8}{36}$&$\frac{6}{36}$&$\frac{4}{36}$&$\frac{2}{36}$&1\\ \hline \end{tabular} \end{center} よって,求める期待値は,$$0 \times\frac{6}{36}+1 \times\frac{10}{36}+2 \times\frac{8}{36}+3 \times\frac{6}{36}+4 \times\frac{4}{36}+5 \times\frac{2}{36} =\frac{35}{18}$$
% 問題A2.2.15
2個のさいころを同時に投げるとき,出る目の和の期待値を求めよ.
% 解答A2.2.15
2個のさいころA,Bの出た目の和を$X$とすると,出る和$X$の値とその確率は,右の表のようになり,出方は,$6 \times 6=36 (\text{通り})$したがって,A,Bの出た目の和を$X$とすると,$X$のとりうる値とそれぞれの値をとる確率は,下の表のようになる. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A$\backslash$B&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 4&5&6&7&8&9&10\\ \hline 5&6&7&8&9&10&11\\ \hline 6&7&8&9&10&11&12\\ \hline \end{tabular} \end{center} 和$X$の値ごとの確率は以下の通り： \begin{center} \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline$X$&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&計\\ \hline 確率&$\frac{1}{36}$&$\frac{2}{36}$&$\frac{3}{36}$&$\frac{4}{36}$&$\frac{5}{36}$&$\frac{6}{36}$&$\frac{5}{36}$&$\frac{4}{36}$&$\frac{3}{36}$&$\frac{2}{36}$&$\frac{1}{36}$&1\\ \hline \end{tabular} \end{center} よって,求める期待値は,$$\begin{aligned} &2 \times\frac{1}{36}+3 \times\frac{2}{36}+4 \times\frac{3}{36}+5 \times\frac{4}{36}+6 \times\frac{5}{36}+7 \times\frac{6}{36} \\ &+8 \times\frac{5}{36}+9 \times\frac{4}{36}+10 \times\frac{3}{36}+11 \times\frac{2}{36}+12 \times\frac{1}{36} \\ =&7 \end{aligned}$$
