% 例題A2.2.17：期待値（図形） （One More）★★★★
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を選び,それらの3点を頂点とする三角形をつくる.このとき,三角形の面積の期待値を求めよ.
% 解答（例題A2.2.17）
3つの頂点の選び方の総数は${ }_6 \mathrm{C}_3=20(\text{通り})$三角形の形は次の(i)～(iii)の3種類がある. (i)正六角形と2辺を共有するとき 3辺が$1,1,\sqrt{3}$の二等辺三角形となり,その 面積は,$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}$このような三角形は,正六角形の各頂点に対して1つずつできるから,6通り (ii)正六角形と1辺だけを共有するとき 3辺が$1,\sqrt{3},2$の直角三角形となり,その 面積は,$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$このような三角形は,$\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}$を斜辺としたときに, それぞれ4通りずつできるから,$3 \times 4=12(\text{通り})$(iii)正六角形と辺を共有しないとき 1辺が$\sqrt{3}$の正三角形となり,その 面積は,$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$このような三角形は,$\triangle \mathrm{ACE},\triangle \mathrm{BDF}$の2通り よって,(i)〜(iii)より,求める期待値は,$$\frac{\sqrt{3}}{4} \times\frac{6}{20}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times\frac{12}{20}+\frac{3 \sqrt{3}}{4} \times\frac{2}{20}=\frac{9 \sqrt{3}}{20}$$
% 問題A2.2.17
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFの頂点から異なる3点を選び,それらの3点を頂点とする三角形をつくる.このとき,三角形の周の長さの期待値を求めよ.
% 解答A2.2.17
3つの頂点の選び方の総数は${ }_6 \mathrm{C}_3=20(\text{通り})$三角形の形は次の(i)～(iii)の3種類がある. (i)正六角形と2辺を共有するとき 3辺が$1,1,\sqrt{3}$の二等辺三角形となり,その 周の長さは,$1+1+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$このような三角形は,正六角形の各頂点に対して1つずつできるから,6通り (ii)正六角形と1辺だけを共有するとき 3辺が$1,\sqrt{3},2$の直角三角形となり,その 周の長さは,$1+\sqrt{3}+2=3+\sqrt{3}$このような三角形は,$\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}$を斜辺としたときに, それぞれ4通りずつできるから,$3 \times 4=12(\text{通り})$(iii)正六角形と辺を共有しないとき 1辺が$\sqrt{3}$の正三角形となり,その 周の長さは,$3 \cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}$このような三角形は,$\triangle \mathrm{ACE},\triangle \mathrm{BDF}$の2通り よって,(i)〜(iii)より,求める期待値は,$$(2+\sqrt{3})\times\frac{6}{20}+(3+\sqrt{3})\times\frac{12}{20}+3\sqrt{3} \times\frac{2}{20}=\frac{12+6\sqrt{3}}{5}$$
