% 例題A3.1.2：三角形の性質 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし,$\angle \mathrm{AMB},\angle \mathrm{AMC}$の二等分線が辺$\mathrm{AB},\mathrm{AC}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とする.このとき,$\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}$であることを示せ.
% 解答（例題A3.1.2）
$\triangle \mathrm{AMB}$に注目すると,MDは$\angle \mathrm{AMB}$の二等分線であるから,$\mathrm{MA}: \mathrm{MB}=\mathrm{AD}: \mathrm{DB} \cdot s(\mathrm{i})$同様に,$\triangle \mathrm{AMC}$に注目すると,MEは$\angle \mathrm{AMC}$の二等分線であるから,$\mathrm{MA}: \mathrm{MC}=\mathrm{AE} : \mathrm{EC} \cdot s(\mathrm{ii})$$\mathrm{AM}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の中線であるから,$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$したがって,(i),(ii)より,$\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=\mathrm{MA}: \mathrm{MB}=\mathrm{AE}: \mathrm{EC}$よって,$\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=\mathrm{AE}: \mathrm{EC}$より,$\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC} \blacksquare$
% 問題A3.1.2
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし,$\angle \mathrm{AMB},\angle \mathrm{AMC}$の二等分線が辺$\mathrm{AB},\mathrm{AC}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とする.このとき,$\mathrm{DE}<\mathrm{BD}+\mathrm{CE}$であることを示せ.
% 解答A3.1.2
右の図のように,線分$\mathrm{AM}$上で,$\mathrm{BM}=\mathrm{CM}=\mathrm{FM}$となるように点$\mathrm{F}$をとる.$\triangle \mathrm{BDM}$と$\triangle \mathrm{FDM}$において,2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから,$\triangle \mathrm{BDM} \equiv \triangle \mathrm{FDM}$したがって,$\mathrm{BD}=\mathrm{FD} \cdot s(\mathrm{i}),\angle \mathrm{DBM}=\angle \mathrm{DFM} \cdot s(\mathrm{ii})$\triangle \mathrm{CEM}$と$\triangle \mathrm{FEM}$においても同様に考えると,$\triangle \mathrm{CEM} \equiv \triangle \mathrm{FEM}$ゆえに,$\mathrm{CE}=\mathrm{FE} \cdot s(\mathrm{iii}),\angle \mathrm{ECM}=\angle \mathrm{EFM} \cdot s(\mathrm{iv})$(ii),(iv)より,$\begin{aligned} \angle \mathrm{DFM}+\angle \mathrm{EFM} &=\angle \mathrm{DBM}+\angle \mathrm{ECM} \\ &=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ACB} \\ &=180^{\circ}-\angle \mathrm{BAC}<180^{\circ} \end{aligned}$したがって,3点$\mathrm{D},\mathrm{F},\mathrm{E}$は同一直線上にない. ゆえに,三角形の成立条件より,$\mathrm{DE}<\mathrm{FD}+\mathrm{FE} \cdot s(\mathrm{v})$よって,(i),(iii),(v)より,$\mathrm{DE}<\mathrm{BD}+\mathrm{CE}$\blacksquare$
