% 例題A3.1.3：角の二等分線 （One More）★★★
$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$\mathrm{AB} : \mathrm{AC}$に内分する点$\mathrm{P}$をとる.このとき,$\mathrm{AP}$は$\angle \mathrm{A}$の二等分線であることを示せ.
% 解答（例題A3.1.3）
$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{BA}$の延長上に$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$となるように点$\mathrm{D}$をとる.$\mathrm{BP}: \mathrm{PC}=\mathrm{AB}: \mathrm{AC}$のとき,$\mathrm{BP}: \mathrm{PC}=\mathrm{BA}: \mathrm{AD}$であるから,$$\mathrm{AP} \parallel \mathrm{DC}$$したがって,$$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{ADC}, \angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{ACD}$$また,$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$より,$$\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ACD}$$ゆえに,$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{PAC}$よって,APは$\angle \mathrm{A}$の二等分線である.$\blacksquare$
% 問題A3.1.3
$\triangle \mathrm{ABC}$の2辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}$となるような2点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$をとり,辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.このとき,$\mathrm{MD}$が$\angle \mathrm{AMB}$の二等分線であれば,$\mathrm{ME}$は$\angle \mathrm{AMC}$の二等分線であることを示せ.
% 解答A3.1.3
$\triangle \mathrm{MAB}$において,$\mathrm{MD}$は$\angle \mathrm{AMB}$の二等分線であるから,$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{MA}:\mathrm{MB} \cdots (\mathrm{i})$$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{DE} \parallel \mathrm{BC}$であるから,$$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{AE}:\mathrm{EC} \cdots (\mathrm{ii})$$(i),(ii)より,$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{MA}:\mathrm{MB}$MはBCの中点であるから,$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$より,$$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{MA}:\mathrm{MC}$$よって,$\mathrm{ME}$は$\angle \mathrm{AMC}$の二等分線である.$\blacksquare$
