【数学A】例題3.1.4：三角形の外心・内心の角の大きさ（One More）★

% 例題A3.1.4：三角形の外心・内心の角の大きさ （One More）★
次の図において,$\triangle \mathrm{ABC}$の外心をO,内心をIとするとき,角$x,y$を求めよ. (1) (2)

% 解答（例題A3.1.4）
(1)Oは$\triangle \mathrm{ABC}$の外心であるから,$$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=30^{\circ}$$したがって,$\angle \mathrm{OAC}=40^{\circ}$よって,$x=\angle \mathrm{OAC}=40^{\circ}$また,$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるから,$\angle \mathrm{OBC}=\angle \mathrm{OCB}=y$したがって,$30^{\circ}+70^{\circ}+40^{\circ}+2y=180^{\circ}$よって,$y=20^{\circ}$(2)Iは$\triangle \mathrm{ABC}$の内心であるから,$$\angle \mathrm{IBA}=\angle \mathrm{IBC}=35^{\circ},\angle \mathrm{IAB}=\angle \mathrm{IAC}=y$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,$2 y+2 \times 35^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$よって,$y=25^{\circ}$また,$\triangle \mathrm{IAB}$において,$x=180^{\circ}-(\angle \mathrm{IAB}+\angle \mathrm{IBA})=120^{\circ}$

% 問題A3.1.4
次の図において,$\triangle \mathrm{ABC}$の外心をO,内心をIとするとき,角$x,y$を求めよ. (1) (2)

% 解答A3.1.4
(1)Oは$\triangle \mathrm{ABC}$の外心であるから,$$\angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}=40^{\circ}$$したがって,$\angle \mathrm{OAB}=20^{\circ}$よって,$x=\angle \mathrm{OBA}=20^{\circ}$$\triangle \mathrm{ABC}$において,$60^\circ+(20^\circ+\angle\mathrm{OBC})+(40^\circ+\angle\mathrm{OCB})=180^\circ$したがって,$\angle\mathrm{OBC}+\angle\mathrm{OCB}=60^\circ$よって,$y=180^{\circ}-(\angle \mathrm{OBC}+\angle \mathrm{OCB})=120^{\circ}$(2)Iは$\triangle \mathrm{ABC}$の内心であるから,$$\angle \mathrm{ICA}=\angle \mathrm{ICB}=35^{\circ},\angle \mathrm{IAB}=\angle \mathrm{IAC}=y$$$\triangle \mathrm{ABC}$において,$2 y+2 \times 35^{\circ}+70^{\circ}=180^{\circ}$よって,$y=20^{\circ}$また,$\triangle \mathrm{IAC}$において,$x=180^{\circ}-(\angle \mathrm{IAC}+\angle \mathrm{ICA})=125^{\circ}$