問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A3.1.5：三角形の傍心（One More）★★
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$\triangle\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，$\angle\mathrm{A}$に対する傍心を$\mathrm{J}$とし，線分$\mathrm{IJ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\angle\mathrm{IBJ}$の大きさを求めよ．
(2) $\mathrm{MB}=\mathrm{MC}$を示せ．
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% 例題A3.1.5の解答（One More）★★
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(1) $\triangle\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の$\mathrm{B}$側の延長上に点$\mathrm{D}$をとる．$\mathrm{I}$は内心であるから，
\[
\angle\mathrm{CBI}=\angle\mathrm{ABI}
\]
$\mathrm{J}$は傍心であるから，
\[
\angle\mathrm{CBJ}=\angle\mathrm{DBJ}
\]
よって，
\begin{align*}
\angle\mathrm{IBJ}&=\angle\mathrm{CBI}+\angle\mathrm{CBJ}\\
&=\frac{1}{2}(\angle\mathrm{CBA}+\angle\mathrm{CBD})\\
&=90^{\circ}
\end{align*}
(2) $\angle\mathrm{IBJ}=90^{\circ}$，$\mathrm{MI}=\mathrm{MJ}$より，$\mathrm{M}$は$\triangle\mathrm{IBJ}$の外心である．
したがって，$\mathrm{MB}=\mathrm{MI}\cdots(\mathrm{i})$
また，(1)と同様に考えると，$\angle\mathrm{ICJ}=90^{\circ}$となり，$\mathrm{M}$は$\triangle\mathrm{ICJ}$の外心である．
したがって，$\mathrm{MC}=\mathrm{MI}\cdots(\mathrm{ii})$
よって，(i)，(ii)より，$\mathrm{MB}=\mathrm{MC}\blacksquare$
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% 問題A3.1.5：三角形の傍心（One More）★★
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$\triangle\mathrm{ABC}$において，$\angle\mathrm{A}$の二等分線と，$\angle\mathrm{B}$と$\angle\mathrm{C}$の外角の二等分線は，1点で交わることを示せ．
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% 問題A3.1.5の解答（One More）★★
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$\angle\mathrm{B}$と$\angle\mathrm{C}$の外角の二等分線の交点を$\mathrm{J}$とする．
$\mathrm{J}$から直線$\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$に下ろした垂線の足を，それぞれ$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$とする．
$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$は垂線の足であるから，
\[
\angle\mathrm{APJ}=\angle\mathrm{ARJ}=90^\circ\cdots(\mathrm{i})
\]
また，$\mathrm{BJ}$は$\angle\mathrm{CBP}$の二等分線であることから，
\[
\mathrm{JP}=\mathrm{JQ}
\]
$\mathrm{CJ}$は$\angle\mathrm{BCR}$の二等分線であることから，
\[
\mathrm{JQ}=\mathrm{JR}
\]
したがって，
\[
\mathrm{JP}=\mathrm{JR}\cdots(\mathrm{ii})
\]
ゆえに，(i)，(ii)より，直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから，
\[
\triangle\mathrm{APJ}\equiv\triangle\mathrm{ARJ}
\]
したがって，$\angle\mathrm{JAP}=\angle\mathrm{JAR}$
ゆえに，$\mathrm{AJ}$は$\angle\mathrm{A}$の二等分線である．
よって，$\angle\mathrm{A}$の二等分線と，$\angle\mathrm{B}$と$\angle\mathrm{C}$の外角の二等分線は，1点で交わる．$\blacksquare$
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