問題の解答
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% 例題A3.1.8：チェバの定理・メネラウスの定理 （One More）★
右の図のような$\triangle \mathrm{ABC}$において,$x:y$を求めよ. (1) (2)
% 解答（例題A3.1.8）
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,チェバの定理より,$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=1$$したがって,$$\frac{x}{y} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{2}=1$$ゆえに,$\frac{x}{y}=\frac{5}{9}$よって,$x:y=5:9$(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と直線PQについて,メネラウスの定理より,$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=1$$したがって,$$\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{1} \cdot \frac{x}{y}=1$$ゆえに,$\frac{x}{y}=\frac{5}{14}$よって,$x:y=5:14$
% 問題A3.1.8
右の図のような$\triangle \mathrm{ABC}$において,$x:y$を求めよ. (1) (2)
% 解答A3.1.8
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において,チェバの定理より,$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=1$したがって,$\frac{x}{y} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}=1$ゆえに,$\frac{x}{y}=\frac{9}{25}$よって,$x:y=9:25$(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と直線PQについて,メネラウスの定理より,$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=1$したがって,$\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{x}{y}=1$ゆえに,$\frac{x}{y}=\frac{8}{21}$よって,$x:y=8:21$
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