【数学A】例題3.1.9：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★

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% 例題A3.1.9：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★
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$\triangle\mathrm{ABC}$において，次のことを示せ．

(1) $\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と2辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，3直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BR}$，$\mathrm{CQ}$は1点で交わる．

(2) 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の中に点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$から$\mathrm{AD}$および$\mathrm{AB}$に平行な線を引き，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{QT}$と$\mathrm{BD}$は平行ではないとし，$\mathrm{QT}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{O}$とすると，3点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{O}$は一直線上にある．

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% 例題A3.1.9の解答（One More）★★
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(1) $\mathrm{QR}\parallel\mathrm{BC}$より，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=\mathrm{AR}:\mathrm{RC}$

したがって，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n$とおくと，

\[
\mathrm{AR}:\mathrm{RC}=m:n
\]

ゆえに，

\[
\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=\frac{m}{n}\cdot 1\cdot\frac{n}{m}=1
\]

よって，チェバの定理の逆より，3直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BR}$，$\mathrm{CQ}$は1点で交わる．$\blacksquare$

(2) $\triangle\mathrm{ABD}$と直線$\mathrm{OQ}$について，メネラウスの定理より，

\[
\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}\cdot\frac{\mathrm{DT}}{\mathrm{TA}}\cdot\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=1
\]

ここで，$\mathrm{AQ}=\mathrm{DS}$，$\mathrm{QB}=\mathrm{SC}$，$\mathrm{DT}=\mathrm{CR}$，$\mathrm{TA}=\mathrm{RB}$であるから，これらを代入すると，

\[
\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}\cdot\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SC}}=1
\]

すなわち，$\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OD}}\cdot\frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SC}}\cdot\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RB}}=1$

よって，メネラウスの定理の逆より，3点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{O}$は一直線上にある．$\blacksquare$

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% 問題A3.1.9：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★
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$\triangle\mathrm{ABC}$において，次のことを示せ．

(1) $\triangle\mathrm{ABC}$の内接円が3辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$に接する点をそれぞれ$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$とする．このとき，3直線$\mathrm{AP},\mathrm{BQ},\mathrm{CR}$は1点で交わる．

(2) 右の図のような$\triangle\mathrm{ABC}$において，$\angle\mathrm{A}$の外角の二等分線が辺$\mathrm{BC}$の延長と交わるとき，その交点を$\mathrm{D}$とする．また，$\angle\mathrm{B},\angle\mathrm{C}$の二等分線と辺$\mathrm{AC},\mathrm{AB}$の交点をそれぞれ$\mathrm{E},\mathrm{F}$とする．このとき，3点$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$は一直線上にある．

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% 問題A3.1.9の解答（One More）★★
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(1) $\triangle\mathrm{ABC}$の内接円が$\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$でそれぞれ3辺$\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$と接するから，

\[
\mathrm{AQ}=\mathrm{AR},\mathrm{BR}=\mathrm{BP},\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}
\]

したがって，$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=a,\mathrm{BR}=\mathrm{BP}=b,\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}=c$とおくと，

\[
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}\cdot\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=1
\]

よって，チェバの定理の逆より，3直線$\mathrm{AP},\mathrm{BQ},\mathrm{CR}$は1点で交わる．$\blacksquare$

(2) $\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$はそれぞれ$\angle\mathrm{B}$，$\angle\mathrm{C}$の二等分線であるから，

\[
\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdots(\mathrm{i}),\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdots(\mathrm{ii})
\]

$\mathrm{AD}$は$\angle\mathrm{A}$の外角の二等分線であるから，

\[
\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdots(\mathrm{iii})
\]

したがって，(i)〜(iii)の辺々を掛け合わせると，

\[
\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\cdot\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdots(\mathrm{iv})
\]

ゆえに，

\[
\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1
\]

すなわち，

\[
\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1
\]

よって，メネラウスの定理の逆より，3点$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$は一直線上にある．$\blacksquare$

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% 例題A3.1.9の側注：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★
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% 側注1
$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=m:n$より，
\[
\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QB}}=\frac{m}{n}
\]

$\mathrm{BP}=\mathrm{PC}$より，
\[
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}=1
\]

$\mathrm{AR}:\mathrm{RC}=m:n$より，
\[
\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}=\frac{n}{m}
\]

% 側注2
$\triangle\mathrm{BCD}$と3点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{O}$に注目する．

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% 問題A3.1.9の側注：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★
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% 側注1
円の外部の点から円に引いた2本の接線の長さは等しいことを利用する

% 側注2
\begin{align*}
&\mathrm{BC}:\mathrm{BA}=\mathrm{CE}:\mathrm{EA},\\
&\mathrm{CA}:\mathrm{CB}=\mathrm{AF}:\mathrm{FB}
\end{align*}

% 側注3
$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$

% 側注4
$\triangle\mathrm{ABC}$と3点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$に注目する．

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% 例題A3.1.9の考え方・補足など：チェバの定理・メネラウスの定理の逆（One More）★★
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% 考え方
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(1) 平行線と線分の比の関係から，$\mathrm{AR}:\mathrm{RC}$を求め，チェバの定理の逆を適用することを考える．

(2) $\triangle\mathrm{ABD}$と直線$\mathrm{OQ}$について，メネラウスの定理を利用する．すると，平行四辺形の性質から，AQ，QB，DT，TAを他の辺におきかえることができ，メネラウスの定理の逆を適用することができる．