% 例題A3.2.5：方べきの定理の逆 （One More）★★
鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AP}$を引き,$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし,それぞれの交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,4点$\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{R},\mathrm{Q}$は同一円周上にあることを示せ.
% 解答（例題A3.2.5）
$\angle \mathrm{BQP}=90^{\circ}$より,$\triangle \mathrm{BPQ}$は$\mathrm{BP}$を直径とする円に内接する. また,$\angle \mathrm{APB}=90^{\circ}$であるから,$\mathrm{AP}$はこの円の接線である. したがって,方べきの定理より,$$\mathrm{AP}^2=\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{AB} \cdots (\mathrm{i})$$同様に,$\angle \mathrm{CRP}=90^{\circ}$,$\angle \mathrm{APC}=90^{\circ}$であるから,$$\mathrm{AP}^2=\mathrm{AR} \cdot \mathrm{AC} \cdots (\mathrm{ii})$$(i),(ii)より,$\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AR} \cdot \mathrm{AC}$よって,方べきの定理の逆より,4点$\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{R},\mathrm{Q}$は同一円周上にある.$\blacksquare$別解：$\triangle \mathrm{APB}$と$\triangle \mathrm{AQP}$について,$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{QAP}, \angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{AQP}=90^{\circ}$したがって,$\triangle \mathrm{APB} \backsim \triangle \mathrm{AQP}$ゆえに,$\mathrm{AP} : \mathrm{AQ}=\mathrm{AB} : \mathrm{AP}$より,$$\mathrm{AP}^2=\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{AB} \cdots (\mathrm{i})$$同様に,$\triangle \mathrm{APC}$と$\triangle \mathrm{ARP}$において,$$\angle \mathrm{CAP}=\angle \mathrm{RAP}, \angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{ARP}=90^{\circ}$$したがって,$\triangle \mathrm{APC} \backsim \triangle \mathrm{ARP}$ゆえに,$\mathrm{AP} : \mathrm{AR}=\mathrm{AC} : \mathrm{AP}$より,$\mathrm{AP}^2=\mathrm{AR} \cdot \mathrm{AC} \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)より,$\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AR} \cdot \mathrm{AC}$よって,方べきの定理の逆より,4点$\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{R},\mathrm{Q}$は同一円周上にある.$\blacksquare$
% 問題A3.2.5
右の図のように,2つの円$\mathrm{O},\mathrm{O}^{\prime}$が2点$\mathrm{Q},\mathrm{R}$で交わっており,QRの延長上の点Pから,円$\mathrm{O},\mathrm{O}^{\prime}$にそれぞれ$\mathrm{A},\mathrm{B}$および$\mathrm{C},\mathrm{D}$で交わる直線を引くとする.このとき,4点A,B,C,Dは同一円周上にあることを示せ.
% 解答A3.2.5
円Oにおいて,方べきの定理より,$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$円$\mathrm{O}^\prime$において,方べきの定理より,$\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}=\mathrm{PQ} \cdot \mathrm{PR}$したがって,$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$よって,方べきの定理の逆より,4点A,B,C,Dは同一円周上にある.$\blacksquare$
