問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A3.2.6：トレミーの定理（One More）★★★
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円に内接する四角形ABCDにおいて，右の図のように対角線AC上に，点Eを$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{CDE}$となるようにとるとき，次のことを示せ．
(1) $\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}=\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CE}$
(2) $\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$（トレミーの定理）
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% 例題A3.2.6の解答（One More）★★★
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(1) $\triangle\mathrm{ABD}$と$\triangle\mathrm{ECD}$について，与えられた条件より，
\[
\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{EDC}
\]
弧ADに対する円周角は等しいから，
\[
\angle\mathrm{ABD}=\angle\mathrm{ECD}
\]
したがって，$\triangle\mathrm{ABD}\backsim\triangle\mathrm{ECD}$
ゆえに，$\mathrm{AB}:\mathrm{EC}=\mathrm{BD}:\mathrm{CD}$
よって，$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}=\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CE}\cdots(\mathrm{i})\blacksquare$
(2) $\triangle\mathrm{DAE}$と$\triangle\mathrm{DBC}$について，$\angle\mathrm{ADB}=\angle\mathrm{EDC}$であり，$\angle\mathrm{BDE}$は共通であるから，
\[
\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{BDC}
\]
弧CDに対する円周角は等しいから，
\[
\angle\mathrm{DAE}=\angle\mathrm{DBC}
\]
したがって，$\triangle\mathrm{DAE}\backsim\triangle\mathrm{DBC}$
ゆえに，$\mathrm{AD}:\mathrm{BD}=\mathrm{AE}:\mathrm{BC}$
したがって，$\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AE}\cdot\mathrm{BD}\cdots(\mathrm{ii})$
(i)，(ii)の辺々を足し合わせると，
\begin{align*}
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC}&=\mathrm{BD}\cdot\mathrm{CE}+\mathrm{AE}\cdot\mathrm{BD}\\
&=(\mathrm{AE}+\mathrm{CE})\cdot\mathrm{BD}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}
\end{align*}
よって，$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}\blacksquare$
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% 問題A3.2.6：トレミーの定理（One More）★★★
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$\triangle\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8,\mathrm{BC}=7,\mathrm{CA}=6$とする．$\angle\mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$，$\triangle\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{AD},\mathrm{DE}$の長さをトレミーの定理を用いて求めよ．
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% 問題A3.2.6の解答（One More）★★★
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$\mathrm{AD}=x$，$\mathrm{DE}=y$とする．
$\mathrm{AD}$は$\angle\mathrm{A}$の二等分線であるから，
\[
\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3
\]
$\mathrm{BC}=7$より，$\mathrm{BD}=4,\mathrm{DC}=3$
四角形$\mathrm{ABEC}$において，方べきの定理より，
\[
\mathrm{AD}\cdot\mathrm{DE}=\mathrm{BD}\cdot\mathrm{DC}
\]
すなわち，$xy=12\cdots(\mathrm{i})$
$\triangle\mathrm{ACD}\backsim\triangle\mathrm{BED}$であるから，$\mathrm{AC}:\mathrm{BE}=\mathrm{CD}:\mathrm{ED}$より，$6\cdot y=\mathrm{BE}\cdot 3$
したがって，$\mathrm{BE}=2y$
また，$\angle\mathrm{EBC}=\angle\mathrm{EAC},\angle\mathrm{ECB}=\angle\mathrm{EAB},\angle\mathrm{EAC}=\angle\mathrm{EAB}$より，$\triangle\mathrm{EBC}$は二等辺三角形であるから，$\mathrm{EC}=2y$
ゆえに，四角形$\mathrm{ABEC}$において，トレミーの定理より，
\[
\mathrm{AB}\cdot\mathrm{EC}+\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BE}=\mathrm{BC}\cdot\mathrm{AE}
\]
すなわち，$8\cdot 2y+6\cdot 2y=7\cdot(x+y)$
したがって，$x=3y$
これを(i)に代入すると，$3y^2=12$
$y>0$より，$y=2$
このとき，$x=3\cdot 2=6$
よって，$\mathrm{AD}=6,\mathrm{DE}=2$
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