問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題A3.2.10：長さが与えられた線分の作図（One More）★★★
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長さ$1,a,b$の線分が与えられたとき，長さ$\sqrt{\frac{b}{a}}$の線分を作図せよ．
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% 例題A3.2.10の解答（One More）★★★
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長さ1の線分ABをとる．
[1]点Aを通り，直線ABと異なる直線$l$を引き，$l$上に$\mathrm{AC}=a$，$\mathrm{CD}=b$となるように点$\mathrm{C},\mathrm{D}$をとる．ただし，Cは線分AD上にとる．
[2]点Dを通り，直線BCに平行な直線を引き，直線ABとの交点をEとする．
[3]線分AEを直径とする半円をかく．
[4]点Bを通り，直線ABに垂直な直線を引き，[3]の半円との交点をFとする．このとき，線分BFが求める線分である．
$\mathrm{BE}=x,\mathrm{BF}=y$とすると，$\mathrm{BC}\parallel\mathrm{ED}$であるから，$a:b=1:x$より，$x=\frac{b}{a}$
また，FBの延長と線分AEを直径とする円との交点をGとする．
方べきの定理より，$y^2=1\cdot x$
したがって，$y=\sqrt{x}=\sqrt{\frac{b}{a}}$
よって，線分BFは長さ$\sqrt{\frac{b}{a}}$の線分である．
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% 問題A3.2.10：長さが与えられた線分の作図（One More）★★★
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長さ$1,a$の線分が与えられたとき，長さ$\sqrt{a}$の線分を作図せよ．
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% 問題A3.2.10の解答（One More）★★★
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直線上に，$\mathrm{AC}=a$，$\mathrm{CB}=1$となる3点$\mathrm{A},\mathrm{C},\mathrm{B}$をこの順にとる．
[1]線分ABを直径とする円Oをかく．
[2]点Cを通り，直線ABに垂直な直線を引き，[1]の円との交点をそれぞれD，Eとする．このとき，線分CDが求める線分である．
方べきの定理より，$\mathrm{CD}\cdot\mathrm{CE}=\mathrm{CA}\cdot\mathrm{CB}$
$\mathrm{CD}=\mathrm{CE}$であるから，$\mathrm{CD}^2=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{CB}=a$より，$\mathrm{CD}=\sqrt{a}$
よって，線分CDは長さ$\sqrt{a}$の線分である．
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