% 例題A3.2.11：2次方程式の解と作図 （One More）★★
長さ$a,b$の線分が与えられたとき,2次方程式$x^2 \pm a x-b^2=0$の正の解を長さとする線分を作図せよ.
% 解答（例題A3.2.11）
[1]長さ$a$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$\mathrm{O}$をかく. [2]円O上の点$\mathrm{B}$を通る線分$\mathrm{AB}$の垂線を引き,この直線上で$\mathrm{BC}=b$となる点$\mathrm{C}$をとる. [3]点$\mathrm{C}$と線分$\mathrm{AB}$の中点である$\mathrm{O}$を結ぶ直線と円$\mathrm{O}$との交点を,右の図のように$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とすると,線分$\mathrm{CD}$,$\mathrm{CE}$が求める線分である.$x^2+a x-b^2=0$より,$x(x+a)=b^2$であり,$x^2-a x-b^2=0$より,$x(x-a)=b^2$である. また,$\mathrm{CB}$は円に接するから,方べきの定理より,$\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CE}=\mathrm{CB}^2=b^2$$\mathrm{CD}=x$とすると,$\mathrm{CE}=x+a$より,$x(x+a)=b^2$$\mathrm{CE}=x$とすると,$\mathrm{CD}=x-a$より,$x(x-a)=b^2$よって,線分CD,CEは2次方程式$x^2 \pm a x-b^2=0$の正の解を長さとする線分である.
% 問題A3.2.11
長さ$1$の線分が与えられたとき,2次方程式$x^2+4 x-1=0$の正の解を長さとする線分を作図せよ.
% 解答A3.2.11
$x^2+4x-1=0$より,$x(x+4)=1^2$[1]長さ$4$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$\mathrm{O}$をかく. [2]円O上の点$\mathrm{B}$を通る線分$\mathrm{AB}$の垂線を引き,この直線上で$\mathrm{BC}=1$となる点$\mathrm{C}$をとる. [3]点$\mathrm{C}$と$\mathrm{AB}$の中点である$\mathrm{O}$を結ぶ直線と円$\mathrm{O}$との交点を,右の図のように$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とすると,線分$\mathrm{CD}$,$\mathrm{CE}$が求める線分である.$\mathrm{CB}$は円に接するから,方べきの定理より,$\mathrm{CD} \cdot \mathrm{CE}=\mathrm{CB}^2=1^2$$\mathrm{CD}=x$とすると,$\mathrm{CE}=x+4$より,$x(x+4)=1^2$よって,線分CDは2次方程式$x^2+4 x-1=0$の正の解を長さとする線分である.
