【数学A】例題3.3.3：多面体の面・辺・頂点の数（One More）★★★

% 例題A3.3.3：多面体の面・辺・頂点の数 （One More）★★★
正二十面体において,各辺の中点を通る平面ですべてのかどを切り取ったときにできる多面体の面の数$f$,辺の数$e$,頂点の数$v$をそれぞれ求めよ. \tdplotsetmaincoords{65}{100}

% 解答（例題A3.3.3）
正二十面体は,各面が正三角形であり,1つの頂点に集まる面の数は5個である. したがって,正二十面体の辺の数は$3 \times 20 \div 2=30$頂点の数は,$3 \times 20 \div 5=12 \cdots (\mathrm{i})$ここで,正二十面体の1つのかどを切り取ると,新しい面として正五角形の面が$1$つできる. (i)より,新しく増える面として正五角形が12個できる. ゆえに,面の数は,$f=20+12=32$辺の数は,正五角形が12個あるから,$e=5 \times 12=60$頂点の数は,オイラーの（多面体）定理から,$v=60-32+2=30$

% 問題A3.3.3
正二十面体において,各辺の中点を通る平面ですべてのかどを切り取ったときにできる多面体の面の数$f$,辺の数$e$,頂点の数$v$をそれぞれ求めよ.

% 解答A3.3.3
正十二面体は,各面が正五角形であり,1つの頂点に集まる面の数は3個である. したがって,正十二面体の辺の数は$5 \times 12 \div 2=30$頂点の数は,$5 \times 12 \div 3=20 \cdots (\mathrm{i})$ここで,正二十面体の1つのかどを切り取ると,新しい面として正三角形の面が$1$つできる. (i)より,新しく増える面として正三角形が20個できる. ゆえに,面の数は,$f=12+20=32$辺の数は,正三角形が20個あるから,$$e=3 \times 20=60$$頂点の数は,オイラーの（多面体）定理から,$v=60-32+2=30$