% 例題A4.1.1：倍数の判定法 （One More）★★
(1)一の位の数字がわからない5桁の自然数$5197 \square$が5の倍数であり,3の倍数でもあるとき,$\square$に入る一の位の数を求めよ. (2)5桁の自然数$abcde$について,$a-b+c-d+e$が11の倍数であるならば,自然数$abcde$も11の倍数であることを証明せよ.
% 解答（例題A4.1.1）
(1)$\square$に入る数を$a(a \text{は整数,} 0 \leqq a \leqq 9)$とする.$5197\square$が5の倍数であるから,$a=0,5 \cdot s(\mathrm{i})$各桁の数字の和は,$5+1+9+7+a=22+a$である.これが3の倍数となるとき,$5197\square$は3の倍数となる.$22+a$が3の倍数となり,(i)を満たすのは,$a=5$のときである. よって,求める一の位の数は5である. (2)5桁の自然数$abcde$を$N$とおくと,$N=10000a+1000b+100c+10d+e$$a-b+c-d+e$が11の倍数であるとき,$a-b+c-d+e=11m$（$m$は整数）とおけるから,$$\begin{aligned} N &=(9999a+1001b+99c+11d)+(a-b+c-d+e)\\ &=11(909a+91b+9c+d)+11m \\ &=11(909a+91b+9c+d+m) \end{aligned}$$よって,$909a+91b+9c+d+m$は整数であるから,$N$は11の倍数である.$\blacksquare$
% 問題A4.1.1
一の位と十の位の数字がわからない5桁の自然数$317 \square \square$に,それぞれ数を入れると,9の倍数となる.このとき,5桁の自然数が最小となるものを求めよ.
% 解答A4.1.1
$\square$に入る十の位の数を$a(a \text{は整数,} 0 \leqq a \leqq 9)$,一の位に入る数を$b(b \text{は整数,} 0 \leqq b \leqq 9)$とする. 各桁の数字の和は,$3+1+7+a+b=a+b+11$である.これが9の倍数となるとき,$317 \square \square$は9の倍数となる.$0 \leqq a \leqq 9,0 \leqq b \leqq 9$より,$0 \leqq a+b \leqq 18$であるから,$a+b+11$が9の倍数となるのは,$a+b=7$または$a+b=16$のときである. 自然数が最小となるものを求めるから,$a+b=7$これを満たす$a,b$のうち,$a$が最小となるものを求めればよい. したがって,$a=0,b=7$よって,求める自然数は,$31707$である.
