% 例題A4.1.7：互いに素に関する証明1 （One More）★★
$n$を自然数とする.$n+2$が5の倍数であり,$n+3$が7の倍数であるとき,$n+17$が35の倍数であることを証明せよ.
% 解答（例題A4.1.7）
$n+2,n+3$は,それぞれ$n+2=5k,n+3=7l(k,l \text{ は自然数})$とおける.$n+17$を$k,l$を用いて表すと,$$n+17=(n+2)+15=5k+15 =5(k+3) \cdot s(\mathrm{i}),$$$$n+17=(n+3)+14=7l+14 =7(l+2)$$したがって,$$5(k+3)=7(l+2)$$5と7は互いに素であるから,$k+3$は7の倍数である. ゆえに,$k+3=7m(m \text{ は自然数})$と表せる. (i)より,$n+17=5(k+3)=5 \cdot 7m=35m$よって,$n+17$は35の倍数である.$\blacksquare$
% 問題A4.1.7
{}$n$を自然数とする.$n+3$が6の倍数であり,$n+1$が8の倍数であるとき,$n+9$が24の倍数であることを証明せよ.
% 解答A4.1.7
$n+3,n+1$は,それぞれ$n+3=6k,n+1=8l(k,l \text{ は自然数})$とおける.$n+9$を$k,l$を用いて表すと,$$n+9=(n+3)+6=6k+6 =6(k+1) \cdot s(\mathrm{i}),$$$$n+9=(n+1)+8=8l+8 =8(l+1)$$したがって,$6(k+1)=8(l+1)$すなわち,$3(k+1)=4(l+1)$であり,3と4は互いに素であるから,$k+1$は4の倍数である. ゆえに,$k+1=4m(m \text{ は自然数})$と表せる. (i)より,$n+9=6(k+1)=6 \cdot 4m=24m$よって,$n+9$は24の倍数である.$\blacksquare$
