【数学A】例題4.1.8：互いに素に関する証明2（One More）★★★

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% 例題A4.1.8：互いに素に関する証明2（One More）★★★
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$a,b$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1) $a+b$と$a$が互いに素であるとき，$a$と$b$も互いに素であることを証明せよ．

(2) $a$と$b$が互いに素であるとき，$a+b$と$ab$も互いに素であることを証明せよ．

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% 例題A4.1.8の解答（One More）★★★
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(1) $a$と$b$の最大公約数を$g$とすると，

\[
a=mg\cdots(\mathrm{i}),b=ng\cdots(\mathrm{ii})
\]

とおける．

ただし，$m$と$n$は互いに素な自然数とする．

(i)，(ii)の辺々を足し合わせると，$a+b=mg+ng=(m+n)g$

$m+n$は自然数であるから，$g$は$a+b$の約数である．

また，(i)より，$g$は$a$の約数である．

したがって，$g$は$a+b$と$a$の公約数であり，$a+b$と$a$は互いに素であるため，$g=1$となる．

よって，最大公約数が1であるから，$a$と$b$は互いに素である．$\blacksquare$

(2) $a+b$と$ab$が互いに素ではないと仮定すると，$a+b$と$ab$は共通の素数$p$を約数にもち，

\[
a+b=pm\cdots(\mathrm{i}),ab=pn\cdots(\mathrm{ii})
\]

とおける．ただし，$m,n$は整数である．

このとき，(ii)より，$p$は$a$または$b$の約数である．

$p$が$a$の約数であるとき，$a=pk$（$k$は整数）とおくと，(i)より，$b=(m-k)p$

$m-k$は整数であるから，$p$は$b$の約数である．

$p$が$b$の約数であるときも，同様にして$p$は$a$の約数である．

したがって，$p$は$a$と$b$の公約数となり，これは$a$と$b$が互いに素であることに矛盾する．

よって，$a+b$と$ab$は互いに素である．$\blacksquare$

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% 問題A4.1.8：互いに素に関する証明2（One More）★★★
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$a,b$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1) $a+b$と$ab$が互いに素であるとき，$a$と$b$も互いに素であることを証明せよ．

(2) $a$と$b$が互いに素であるとき，$a^2$と$b^2$も互いに素であることを証明せよ．

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% 問題A4.1.8の解答（One More）★★★
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(1) $a$と$b$が互いに素ではないと仮定すると，$a,b$はある素数$p$を約数にもち，$a=pm\cdots(\mathrm{i}),b=pn\cdots(\mathrm{ii})$とおける．ただし，$m,n$は自然数とする．

(i)，(ii)の辺々を足し合わせると，$a+b=pm+pn=p(m+n)$

(i)，(ii)の辺々を掛け合わせると，$ab=p^2mn$

したがって，$p$は$a+b$と$ab$の公約数となり，これは$a+b$と$ab$が互いに素であることに矛盾する．

よって，$a$と$b$は互いに素である．$\blacksquare$

(2) $a^2$と$b^2$が互いに素ではないと仮定すると，$a^2$と$b^2$は共通の素因数$p$をもつ．

$a^2$は$p$の倍数であるから，$a$は$p$の倍数であり，$b^2$は$p$の倍数であるから，$b$も$p$の倍数である．

これは$a$と$b$が互いに素であることに矛盾する．

よって，$a^2$と$b^2$は互いに素である．$\blacksquare$

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% 例題A4.1.8の側注：互いに素に関する証明2（One More）★★★
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% 側注1
$g$は自然数である．

% 側注2
$a+b$を$g$で表すことを考える．

% 側注3
背理法を用いる．$a+b$と$ab$が互いに素ではない$\Leftrightarrow a+b$と$ab$が素数を公約数にもつ

% 側注4
$b=pk^\prime$（$k^\prime$は整数）とおくと，$a=(m-k^\prime)p$より，$p$は$a$の約数である．

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% 問題A4.1.8の側注：互いに素に関する証明2（One More）★★★
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% 側注1
背理法を用いる．

% 側注2
背理法を用いる．

% 側注3
$k$が素数のとき，$n^2$が$k$の倍数ならば，$n$も$k$の倍数である．

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% 例題A4.1.8の考え方・補足など：互いに素に関する証明2（One More）★★★
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% 考え方
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(1) $a+b$と$a$が互いに素であるから，その最大公約数は1であることを利用する．$a$と$b$の最大公約数を$g$とすると，$a=mg,b=ng$とおける．2つの式から$a+b$を導き，$g$が$a+b$と$a$の公約数であることを示す．

(2) (1)と同様に考えようとすると，$a,b$を最大公約数$g$で表して，$g=1$を導くのにやや手間が掛かる．そこで，背理法を用いた証明を考えるとよい．「$a+b$と$ab$が互いに素である」の否定「$a+b$と$ab$が互いに素ではない」を仮定して，矛盾を導く．