% 例題A4.2.3：方程式の整数解1 （One More）★★
次の不定方程式の整数解を求めよ. (1)$5 x-4 y=28$(2)$45 x+464 y=14$
% 解答（例題A4.2.3）
(1)$5 x-4 y=28$より,$5 x=4(y+7) \cdot s(\mathrm{i})$5と4は互いに素であるから,$x$は4の倍数となる. したがって,$k$を整数として,$x=4 k$とおける. これを(i)に代入すると,$5 \times 4 k=4(y+7)$$5 k=y+7$より,$y=5 k-7$よって,求める整数解は,$x=4 k,y=5 k-7(k$は整数) 別解：$5 x-4 y=28$より,$y=\frac{5}{4} x-7$$y$は整数より,$x$は4の倍数となる. したがって,$x=4 k(k$は整数)とおけ,$y=5 k-7$よって,求める整数解は,$x=4 k,y=5 k-7(k$は整数) (2)$464=45 \times 10+14$より,$$45 x+(45 \times 10+14)y=14$$したがって,$45(x+10 y)=14(1-y) \cdot s(\mathrm{i})$45と14は互いに素であるから,$x+10y$は14の倍数となる. したがって,$k$を整数として,$x+10y=14 k$,すなわち,$x=14 k-10y \cdot s(\mathrm{ii})$とおける. (ii)を(i)に代入すると,$45 \times 14 k=14(1-y)$$45 k=1-y$より,$y=-45 k+1$これを(ii)に代入すると,$x=464k-10$よって,求める整数解は,$x=464 k-10,y=-45 k+1(k$は整数)
% 問題A4.2.3
次の不定方程式の整数解を求めよ. (1)$7 x-3 y=18$(2)$39 x+56 y=17$
% 解答A4.2.3
(1)$7 x-3 y=18$より,$7 x=3(y+6) \cdot s(\mathrm{i})$7と3は互いに素であるから,$x$は3の倍数となる. したがって,$k$を整数として,$x=3 k$とおける. これを(i)に代入すると,$7 \times 3 k=3(y+6)$$7 k=y+6$より,$y=7 k-6$よって,求める整数解は,$x=3 k,y=7 k-6(k$は整数) 別解：$7 x-3 y=18$より,$y=\frac{7}{3} x-6$$y$は整数より,$x$は3の倍数となる. したがって,$x=3 k(k$は整数)とおけ,$y=7 k-6$よって,求める整数解は,$x=3 k,y=7 k-6(k$は整数) (2)$56=39 \times 1+17$より,$$39 x+(39 \times 1+17)y=17$$したがって,$39(x+y)=17(1-y) \cdot s(\mathrm{i})$39と17は互いに素であるから,$x+y$は17の倍数となる. したがって,$k$を整数として,$x+y=17 k$,すなわち,$x=17 k-y \cdot s(\mathrm{ii})$とおける. (ii)を(i)に代入すると,$39 \times 17 k=17(1-y)$$39 k=1-y$より,$y=-39 k+1$これを(ii)に代入すると,$x=56 k-1$よって,求める整数解は,$x=56 k-1,y=-39 k+1(k$は整数)
