【数学I】例題1.1.10：因数分解（3次式）（One More）★★

% 例題I1.1.10：因数分解（3次式） （One More）★★
次の式を因数分解せよ. (1)$x^3+64$(2)$8a^3-125b^3$(3)$x^3+3x^2+3x+1$(4)$x^3+2x^2-9x-18$

% 解答（例題I1.1.10）
(1)$\begin{aligned} x^3+64 &=x^3+4^3\\ &=(x+4)\{x^2-x \cdot 4+4^2\}\\ &=(x+4)(x^2-4x+16) \end{aligned}$(2)$\begin{aligned} 8a^3-125b^3 &=(2a)^3-(5b)^3\\ &=(2a-5b)\{(2a)^2+2a \cdot 5b+(5b)^2\}\\ &=(2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2) \end{aligned}$(3)$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$別解：$\begin{aligned} x^3+3x^2+3x+1 &=(x^3+1)+(3x^2+3x)\\ &=(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)\\ &=(x+1)\{(x^2-x+1)+3x\}\\ &=(x+1)(x^2+2x+1)\\ &=(x+1)(x+1)^2\\ &=(x+1)^3 \end{aligned}$(4)$\begin{aligned} x^3+2x^2-9x-18 &=(x^3+2x^2)-(9x+18)\\ &=x^2(x+2)-9(x+2)\\ &=(x+2)(x^2-9)\\ &=(x+2)(x-3)(x+3) \end{aligned}$

% 問題I1.1.10
次の式を因数分解せよ. (1)$x^3-27$(2)$27m^3+8n^3$(3)$x^3-6x^2+12x-8$(4)$x^3-4x^2-x+4$

% 解答I1.1.10
(1)$\begin{aligned} x^3-27 &=x^3-3^3\\ &=(x-3)\{x^2+x \cdot 3+3^2\}\\ &=(x-3)(x^2+3x+9) \end{aligned}$(2)$\begin{aligned} 27m^3+8n^3 &=(3m)^3+(2n)^3\\ &=(3m+2n)\{(3m)^2-3m \cdot 2n+(2n)^2\}\\ &=(3m+2n)(9m^2-6mn+4n^2) \end{aligned}$(3)$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3$別解：$\begin{aligned} x^3-6x^2+12x-8 &=(x^3-8)+(-6x^2+12x)\\ &=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)\\ &=(x-2)\{x^2+2x+4-6x\}\\ &=(x-2)(x^2-4x+4)\\ &=(x-2)(x-2)^2\\ &=(x-2)^3 \end{aligned}$(4)$\begin{aligned} x^3-4x^2-x+4 &=(x^3-4x^2)-(x-4)\\ &=x^2(x-4)-1(x-4)\\ &=(x-4)(x^2-1)\\ &=(x-4)(x-1)(x+1) \end{aligned}$