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【数学I】2章：集合と命題（基本事項）

数学I（One More） 2章：集合と命題 1節：集合と論理
【数学I】基本事項2章，集合と命題
【数学I】基本事項2章，集合と論理，集合
【数学I】基本事項2章，命題，必要条件と十分条件，条件の否定
【数学I】基本事項2章，逆裏対偶
検索用コード（LaTeX）
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% 基本事項I2.1.1：集合（One More）
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(1) あるものがその集まりに属するかどうかが明確に定まるとき，その集まりを集合という．また，集合に属する1つ1つのものを，その集合の要素という．ある要素$a$が集合$A$に含まれる場合，$a$は集合$A$に属するといい，$a\in A$と表す．逆に，要素$b$が集合$A$に含まれない場合には，$b\notin A$と表す．このとき，任意の要素$a$と集合$A$の関係において，$a\in A$または$a\notin A$のいずれかが成り立つ．要素が有限個である集合を有限集合，要素が無限個ある集合を無限集合という．

(2) 集合を表すには，次の2つの方法がある．

(i) 要素を列記する方法

(ii) 要素の満たす条件を述べて表す方法

例えば，1桁の正の奇数の集合を$A$とすると，$A$には次のような表し方がある．

(i) $A=\{1,3,5,7,9\}$

(ii) $A=\{x\mid 1\leqq x\leqq 9,x$は奇数$\}$,$A=\{2n-1\mid 1\leqq n\leqq 5,n$は整数$\}$

(3) 2つの集合$A,B$に関して，$A$のすべての要素が$B$の要素でもある場合，つまり$x\in A$ならば$x\in B$が成り立つとき，$A$を$B$の部分集合といい，$A\subset B$と表す．このとき，$A$は$B$に含まれる，あるいは$B$は$A$を含むという．また，$A$は$A$自身の部分集合でもあり，任意の集合$A$について$A\subset A$が成り立つ．

2つの集合$A,B$が一致しているとは，互いに他方の部分集合となっていることである．すなわち，$A\text{と}B\text{が等しい}\Longleftrightarrow A\subset B\text{かつ}B\subset A\Longleftrightarrow A=B$

(4) 空集合$\varnothing$は，要素を1つも含まない集合を指す．任意の集合$A$に対して，$\varnothing$は$A$の部分集合であるとする．すなわち，$\varnothing\subset A$と約束する．

$A,B$の両方に属するような要素全体の集合を$A$と$B$の共通部分($A$と$B$の交わり)といい，$A\cap B$で表す．

$A,B$の少なくとも一方に属するような要素全体の集合を$A$と$B$の和集合($A$と$B$の結び)といい，$A\cup B$で表す．

(5) 全体集合とは，特定の文脈や議論において，考えられるすべての要素を含む集合である．補集合とは，全体集合$U$に属し，かつ$U$の部分集合$A$に属さない要素全体からなる集合である．これを$\overline{A}$で表す（$A^c$で表されることもある）．また，次のことが成り立つ．

\[
\overline{\varnothing}=U,\overline{U}=\varnothing,A\cap\overline{A}=\varnothing,A\cup\overline{A}=U,\overline{\overline{A}}=A
\]

(6) ド・モルガンの法則（ド・モーガンの法則）

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$

$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$

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% 基本事項I2.1.2：命題（One More）
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(1) 式や文章によって示される事柄で，明確に正しいか正しくないかが決定される文や式を命題という．命題が正しい場合，その命題は真であるといい，正しくない場合は偽であるという．命題においては，真または偽のいずれかが必ず確定する．

(2) 文字を含んだ文や式において，文字のとる値を変えると，真偽が変わるものがある．例えば，$x+y=11$は，$x=1,y=10$のときは真，$x=2,y=3$のときは偽である．このように，含まれる文字に値を代入することで真偽が明確に決まる（すなわち，命題となる）文や式を条件という．また，これを「$x$と$y$に関する条件」などということもある．

(3) 命題「$p\Longrightarrow q$」において，全体集合$U$の要素についての2つの条件を$p,q$とし，条件$p,q$を満たす要素全体の集合を，それぞれ$P,Q$とする．

\begin{align*}
&\text{「}p\Longrightarrow q\text{が真}\text{」}\Longleftrightarrow P\subset Q\Longleftrightarrow P\cap\overline{Q}=\varnothing,\\
&\text{「}p\Longleftrightarrow q\text{が真}\text{」}\Longleftrightarrow P=Q
\end{align*}

(4) 命題「$p\Longrightarrow q$」において，$p$は満たすが$q$を満たさないような例を反例という．反例が1つでもあれば，命題「$p\Longrightarrow q$」は偽であるといえる．

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% 基本事項I2.1.3：必要条件と十分条件（One More）
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命題「$p\Longrightarrow q$」が真の場合，$p$は$q$であるための十分条件である，$q$は$p$であるための必要条件であるという．命題「$p\Longrightarrow q$」と「$q\Longrightarrow p$」が共に真である，すなわち，命題「$p\Longleftrightarrow q$」が成り立つとき，$p$は$q$（$q$は$p$）であるための必要十分条件であるという．また，この場合，$p$と$q$は互いに同値であるという．

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% 基本事項I2.1.4：条件の否定（One More）
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(1) 条件$p,q$を満たすもの全体の集合をそれぞれ$P,Q$とする．このとき，$p$と$q$をともに満たすものの全体の集合は$P\cap Q$，$p$または$q$の少なくとも一方を満たすものの全体の集合は$P\cup Q$である．

(2) 条件$p$の否定（$p$ではない）を$\overline{p}$で表す．$\overline{p}$を満たすものの集合は，$p$を満たすものの集合$P$の補集合$\overline{P}$となる．

(3) ド・モルガンの法則

\[
\overline{p\text{かつ}q}\Longleftrightarrow\overline{p}\text{または}\overline{q},\overline{p\text{または}q}\Longleftrightarrow\overline{p}\text{かつ}\overline{q}
\]

(4) 「すべて」と「ある」の否定は次のようになる．

命題「すべての$x$について$p$である」の否定は，「ある$x$について$\overline{p}$である」

命題「ある$x$について$p$である」の否定は，「すべての$x$について$\overline{p}$である」

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% 基本事項I2.1.5：逆・裏・対偶（One More）
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(1) 命題「$p\Longrightarrow q$」に対して，

命題「$q\Longrightarrow p$」を「$p\Longrightarrow q$」の逆，

命題「$\overline{p}\Longrightarrow\overline{q}$」を「$p\Longrightarrow q$」の裏，

命題「$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$」を「$p\Longrightarrow q$」の対偶

といい，次のような関係が成り立つ．

(2) 命題「$p\Longrightarrow q$」とその対偶「$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$」は，真偽が一致する．

$P\subset Q$より，「$p\Longrightarrow q$」は真

$\overline{Q}\subset\overline{P}$より，対偶「$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$」は真

命題「$p\Longrightarrow q$」の証明では，代わりにその対偶「$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$」を証明してもよい（対偶証明法）．一方，真である命題の逆や裏は真であるとは限らない．

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% 基本事項I2.1.6：背理法（One More）
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ある命題に対して，その結論が成り立たないと仮定し，矛盾が導かれることを示すことにより，もとの命題が成り立つことを証明する方法を背理法（帰謬（きびゅう）法）という．

数学I（One More） 2章：集合と命題 1節：集合と論理
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