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【数学I】3章：2次関数（基本事項）

数学I（One More） 3章：2次関数 1節：2次関数のグラフ 2節：2次関数の最大・最小と決定 3節：2次方程式と2次不等式
【数学I】基本事項3章，2次関数
【数学I】基本事項3章，2次関数のグラフ，関数，2次関数の標準形のグラフ，2次関数の一般形のグラフ
【数学I】基本事項3章，曲線の平行移動，点グラフの対称移動
【数学I】基本事項3章，2次関数の最大最小と決定，2次関数の最大最小，2次関数の決定
【数学I】基本事項3章，2次方程式と2次不等式，2次方程式の解の個数，2次関数のグラフとx軸の共有点
【数学I】基本事項3章，2次関数のグラフと2次不等式，2次関数と方程式不等式
検索用コード（LaTeX）
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% 基本事項I3.1.1：関数（One More）
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(1) 2つの変数$x,y$があり，$x$の値を定めるとそれに応じて$y$の値がただ1つ定まるとき，$y$は$x$の関数であるといい，$y=f(x),y=g(x)$などと表す．また，$x$の関数を単に関数$f(x)$ともいう．

(2) 関数$y=f(x)$において，$x=a$のときの$y$の値を$f(a)$と表し，$f(a)$を関数$f(x)$の$x=a$における値という．

(3) 座標の定められた平面を座標平面という．座標軸によって分けられている4つの部分を，右の図のように，第1象限，第2象限，第3象限，第4象限という．また，座標軸上の点は，どの象限にも属さないものとする．

(4) 関数$y=f(x)$において，$x$のとる値の範囲をこの関数の定義域といい，$x$が定義域内のすべての値をとるときの$y$のとる値の範囲を値域という．

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% 基本事項I3.1.2：2次関数$y=a(x-p)^2+q$（標準形）のグラフ（One More）
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2次関数$y=a(x-p)^2+q$のグラフは，$y=ax^2$のグラフを$x$軸方向に$p,y$軸方向に$q$だけ平行移動した放物線で，

軸は直線$x=p$，頂点は点$(p,q)$

また，この放物線は$a>0$のときは下に凸，$a<0$のときは上に凸である．

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% 基本事項I3.1.3：2次関数$y=ax^2+bx+c$（一般形）のグラフ（One More）
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$y=ax^2+bx+c$の右辺を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形することを平方完成という．

\begin{align*}
y&=ax^2+bx+c\\
&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\
&=a\{(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2\}+c\\
&=a(x+\frac{b}{2a})^2-a\cdot\frac{b^2}{4a^2}+c\\
&=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}
\end{align*}

この関数のグラフは，$y=ax^2$のグラフを平行移動した放物線で，軸は直線$x=-\frac{b}{2a}$，頂点は点$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$

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% 基本事項I3.1.4：曲線の平行移動（One More）
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関数$y=f(x)$のグラフ$F$を$x$軸方向に$p,y$軸方向に$q$だけ平行移動して得られる$F^\prime$の方程式は，次のようになる．

\[
y-q=f(x-p)
\]

例：$y=2x^2$のグラフを$F,y=2(x-3)^2+2$のグラフを$F^\prime$とすると，$F^\prime$は$F$を$x$軸方向に$3,y$軸方向に$2$だけ平行移動したものである．$\cdots(\mathrm{i})$

なお，ここで$F^\prime$上の点$\mathrm{P}(x,y)$をとり，(i)の平行移動によってPに移される$F$上の点を$\mathrm{Q}(X,Y)$とすると，

\[
x=X+3,y=Y+2
\]

すなわち，$X=x-3,Y=y-2$であり，点Qは$F$上にあるから，$Y=2X^2$

この式の$X$に$x-3$，$Y$に$y-2$を代入すると，$F^\prime$の方程式は，

\[
y-2=2(x-3)^2
\]

このように，$F^\prime$の方程式は，$F$の方程式において，

$y=2x^2$の$x$を$x-3,y$を$y-2$

におき換えたものになっている．

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% 基本事項I3.1.5：点・グラフの対称移動（One More）
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点$(a,b)$の対称移動

(i) $x$軸に関して対称移動$\cdots$点$(a,-b)$に移る．

(ii) $y$軸に関して対称移動$\cdots$点$(-a,b)$に移る．

(iii) 原点に関して対称移動$\cdots$点$(-a,-b)$に移る．

関数$y=f(x)$のグラフの平行移動・対称移動

(i) $x$軸方向に$p$だけ平行移動$\cdots x$を$x-p$におき換えて，$y=f(x-p)$

(ii) $y$軸方向に$q$だけ平行移動$\cdots y$を$y-q$におき換えて，$y-q=f(x)$

(iii) $x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動$\cdots x$を$x-p$，$y$を$y-q$におき換えて，$y-q=f(x-p)$

(iv) $x$軸に関して対称移動$\cdots y$を$-y$におき換えて，$-y=f(x)$

(v) $y$軸に関して対称移動$\cdots x$を$-x$におき換えて，$y=f(-x)$

(vi) 原点に関して対称移動$\cdots x$を$-x$，$y$を$-y$におき換えて，$-y=f(-x)$

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% 基本事項I3.2.1：2次関数の最大・最小（One More）
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(1) $y=ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$は，

$a>0$のとき，$x=p$で最小値$q$，最大値はない．

$a<0$のとき，$x=p$で最大値$q$，最小値はない．

(2) 定義域に制限があるとき

$a>0$のとき，$y=a(x-p)^2+q(s\leqq x\leqq t)$の最大・最小は，定義域（軸の位置）によって次のようになる．

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% 基本事項I3.2.2：2次関数の決定（One More）
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3点を通る．$\cdots$一般形$y=ax^2+bx+c$とおく．

頂点が点$(p,q)$である．$\cdots$標準形$y=a(x-p)^2+q$とおく．

$x$軸と$x=\alpha,\beta$で交わる．$\cdots$ $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$とおく．

$x$軸と点$(\alpha,0)$で接する．$\cdots y=a(x-\alpha)^2$とおく．

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% 基本事項I3.3.1：2次方程式の解法（One More）
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2次方程式$ax^2+bx+c=0\cdots(\mathrm{i})$の解は，左辺を因数分解して求めるか，解の公式を用いて求める．

(1) 2次方程式$a(x-\alpha)(x-\beta)=0$の解は，$x=\alpha,\beta$

(2) 2次方程式の解の公式

2次方程式$ax^2+bx+c=0$の解は，
\[
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]

とくに，$b=2b^{\prime}$のとき，2次方程式$ax^2+2b^{\prime}x+c=0$の解は，
\[
x=\frac{-b^{\prime}\pm\sqrt{b^{\prime 2}-ac}}{a}
\]

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% 基本事項I3.3.2：2次方程式の解の個数（One More）
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$b^2-4ac$を2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式（discriminant）という．

2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D=b^2-4ac$とすると，

\begin{align*}
&b^2-4ac>0(D>0)\Longleftrightarrow\text{異なる2つの実数解をもつ．}\\
&b^2-4ac=0(D=0)\Longleftrightarrow\text{1つの実数解(重解)をもつ．}\\
&b^2-4ac<0(D<0)\Longleftrightarrow\text{実数解をもたない．}
\end{align*}

とくに，$b=2b^{\prime}$であるとき，$\frac{D}{4}=b^{\prime 2}-ac$の符号について，

\begin{align*}
&b^{\prime 2}-ac>0(D>0)\Longleftrightarrow\text{異なる2つの実数解をもつ．}\\
&b^{\prime 2}-ac=0(D=0)\Longleftrightarrow\text{1つの実数解(重解)をもつ．}\\
&b^{\prime 2}-ac<0(D<0)\Longleftrightarrow\text{実数解をもたない．}
\end{align*}

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% 基本事項I3.3.3：2次関数のグラフと$x$軸との共有点（One More）
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(1) 2次方程式$ax^2+bx+c=0$は，2次関数$y=ax^2+bx+c$において，$y=0$とおいたものと考えることができる．2次方程式$ax^2+bx+c=0$の実数解は，2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標である．

(2) (1)より，2次方程式$ax^2+bx+c=0$の実数解の個数と，$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸との共有点の個数は一致する．よって，2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D=b^2-4ac$とすると，$y=ax^2+bx+c$のグラフと$x$軸の位置関係は，次のようになる．

\begin{align*}
&D>0\Longleftrightarrow x\text{軸と異なる2点で交わる．}\\
&D=0\Longleftrightarrow x\text{軸に接する．}\\
&D<0\Longleftrightarrow x\text{軸と共有点をもたない．}
\end{align*}

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% 基本事項I3.3.4：2次関数のグラフと2次不等式（One More）
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$a\neq 0$のとき，次の形で表される不等式を，$x$についての2次不等式という．

\[
\begin{array}{ll}
ax^2+bx+c>0,&ax^2+bx+c<0,\\
ax^2+bx+c\geqq 0,&ax^2+bx+c\leqq 0
\end{array}
\]

2次不等式$ax^2+bx+c>0$は，放物線$y=ax^2+bx+c$が$x$軸より上側にある$(y>0$となる)部分の$x$の値の範囲が解となる．

2次不等式$ax^2+bx+c<0$は，放物線$y=ax^2+bx+c$が$x$軸より下側にある$(y<0$となる)部分の$x$の値の範囲が解となる．

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% 基本事項I3.3.5：2次関数と方程式・不等式（One More）
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2次関数$y=f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$のグラフと$x$軸の位置関係は，2次方程式$ax^2+bx+c=0$の判別式を$D=b^2-4ac$とすると，次のようになる．ただし，$D>0$では2解を$\alpha,\beta(\alpha<\beta)$，$D=0$では重解を$\alpha$とする．

\[
\begin{array}{|c||c|c|c|}
\hline\text{判別式}D\text{の符号}&D>0&D=0&D<0\\
\hline\text{グラフと}x\text{軸}&\text{2点で交わる}&\text{1点で接する}&\text{共有点なし}\\
\hline f(x)=0\text{の解}&2\text{解}\alpha,\beta&x=\alpha&\text{なし}\\
\hline f(x)>0\text{の解}&x<\alpha,\beta<x&\alpha\text{以外のすべての実数}&\text{すべての実数}\\
\hline f(x)\geqq 0\text{の解}&x\leqq\alpha,\beta\leqq x&\text{すべての実数}&\text{すべての実数}\\
\hline f(x)<0\text{の解}&\alpha<x<\beta&\text{なし}&\text{なし}\\
\hline f(x)\leqq 0\text{の解}&\alpha\leqq x\leqq\beta&x=\alpha&\text{なし}\\
\hline
\end{array}
\]

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