MENU
現在，One Moreの数学II・B版を作成中です！
  1. ホーム
  2. 数学A（One More）
  3. 4章：数学と人間の活動
  4. 1節：約数と倍数
  5. 【数学A】4章：数学と人間の活動（基本事項）

【数学A】4章：数学と人間の活動（基本事項）

数学A（One More） 4章：数学と人間の活動 1節：約数と倍数 2節：ユークリッドの互除法と不定方程式，記数法
【数学A】基本事項4章，数学と人間の活動
【数学A】基本事項4章，約数と倍数，約数と倍数，素数と合成数，最大公約数と最小公倍数
【数学A】基本事項4章，整数の除法と余りによる分類，合同式
【数学A】基本事項4章，ユークリッドの互除法と不定方程式，記数法，ユークリッドの互除法，1次不定方程式と整数の性質，記数法
【数学A】基本事項4章，部屋割り論法，ガウス記号，格子点
【数学A】基本事項4章，平面上の点の位置，空間の点の位置，2点間の距離
検索用コード（LaTeX）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.1.1：約数と倍数，素数と合成数（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(1) 2つの整数$a,b$について，ある整数$k$を用いて$a=bk$と表されるとき，$b$は$a$の約数といい，$a$は$b$の倍数という．

(2) 倍数の判定法

$2$の倍数$\cdots$一の位が偶数

$3$の倍数$\cdots$各位の数の和が$3$の倍数

$4$の倍数$\cdots$下2桁が$4$の倍数または$00$

$5$の倍数$\cdots$一の位が$0$または$5$

$6$の倍数$\cdots$ $2$の倍数かつ$3$の倍数

$8$の倍数$\cdots$下3桁が$8$の倍数または$000$

$9$の倍数$\cdots$各位の数の和が$9$の倍数

$10$の倍数$\cdots$一の位が$0$

(3) 2以上の自然数において，1とその数以外に約数をもたない数を素数といい，素数ではない数を合成数という．ただし，1は素数でも合成数でもない．

整数がいくつかの整数の積で表されるとき，その積の1つ1つの整数をもとの整数の因数という．とくに，素数である因数を素因数といい，自然数を素数の積の形に表すことを素因数分解するという．

(4) 自然数$N$が$N=p^aq^br^c\cdots$と素因数分解されているとき，

(i) $N$の約数の個数は，

\[
(a+1)(b+1)(c+1)\cdots(個)
\]

(ii) $N$の約数の総和は，

\[
(1+p+p^2+\cdots+p^a)(1+q+q^2+\cdots+q^b)(1+r+r^2+\cdots+r^c)\cdots
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.1.2：最大公約数と最小公倍数（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(1) 2つ以上の整数に共通する約数をそれらの整数の公約数といい，公約数のうち最大のものを最大公約数という．また，2つ以上の整数に共通する倍数をそれらの整数の公倍数といい，公倍数のうち正で最小のものを最小公倍数という．

(2) 2つの自然数$a,b$の最大公約数が1であるとき，$a,b$は互いに素であるという．

(3) 2つの自然数$a,b$の最大公約数を$g$，最小公倍数を$l$とする．$a=ga^\prime$，$b=gb^\prime$（$a^\prime,b^\prime$は互いに素な自然数）とすると，次のことが成り立つ．

\[
l=a^\prime b^\prime g,ab=gl
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.1.3：整数の除法と余りによる分類（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(1) 整数$a$と正の整数$b$について，

\[
a=bq+r(0\leqq r<b)
\]

を満たす整数$q,r$をそれぞれ，$a$を$b$で割ったときの商，余りという．$r=0$のとき，$a$は$b$で割り切れるという．また，$r\neq 0$のとき，$a$は$b$で割り切れないという．

(2) 余りによる整数の分類

すべての整数$n$は，正の整数$m$が与えられているとき，次のいずれかの形で表される．

\[
mk,mk+1,mk+2,\cdots,mk+(m-1)(k\text{は整数})
\]

(3) 割り算の余りの性質

$m$を正の整数とし，2つの整数$a,b$を$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r,r^\prime$とすると，次のことが成り立つ．

(i) $a+b$を$m$で割った余りは，$r+r^\prime$を$m$で割った余りに等しい．

(ii) $a-b$を$m$で割った余りは，$r-r^\prime$を$m$で割った余りに等しい．

(iii) $ab$を$m$で割った余りは，$rr^\prime$を$m$で割った余りに等しい．

(iv) $a^n$を$m$で割った余りは，$r^n$を$m$で割った余りに等しい（$n$は自然数）．

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.1.4：合同式（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

合同式は学習指導要領の範囲外の内容であるため，場合によっては省略してもよい（整数の問題を考えるときに便利なものであるため，興味がある人は取り組んで欲しい）．

以下，$a,b,c,d$を整数，$m,n$を自然数とする．

(1) $a,b$を$m$で割ったときの余りが等しいとき，$a$と$b$は$m$を法として合同であるといい，$a\equiv b\pmod{m}$と表す．また，このような式を合同式という．

(2) 合同式の性質

反射律$\cdots a\equiv a\pmod{m}$

対称律$\cdots a\equiv b\pmod{m}$のとき，$b\equiv a\pmod{m}$

推移律$\cdots a\equiv b\pmod{m},b\equiv c\pmod{m}$のとき，$a\equiv c\pmod{m}$

(3) $a\equiv b\pmod{m}$，$c\equiv d\pmod{m}$のとき，次のことが成り立つ．

(i) $a+c\equiv b+d\pmod{m}$

(ii) $a-c\equiv b-d\pmod{m}$

(iii) $ac\equiv bd\pmod{m}$

(iv) $a^n\equiv b^n\pmod{m}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.1：ユークリッドの互除法（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

次の操作を余りが$0$となるまで繰り返して，2つの自然数$a,b$の最大公約数を求める方法をユークリッドの互除法または単に互除法という．

[1]$a$を$b$で割ったときの余りを$r$とする．

[2]$r=0$のとき，このときの$b$が最大公約数である．$r>0$のとき，$b$を$a$に，$r$を$b$とおいて[1]に戻る．

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.2：1次不定方程式と整数の性質（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$a,b,c$を整数とし，$a\neq 0,b\neq 0$とする．このとき，1次方程式$ax+by=c$を1次不定方程式といい，1次不定方程式を満たす整数$x,y$の組を，この方程式の整数解という．また，この方程式のすべての整数解を求めることを，1次不定方程式を解くという．

(1) 方程式$ax+by=0(a,b\text{は互いに素})$の整数解

方程式を変形すると，$ax=-by$

$a,b$は互いに素であるから，$x$は$b$の倍数である．

よって，$k$を整数として，$x=bk$と表される．

ここで，$x=bk$を$ax=-by$に代入することにより，$y=-ak$

(2) 方程式$ax+by=c(a,b\text{は互いに素})$の整数解

(1)のような右辺が0のときに帰着させるために，1組の整数解を見つける．

方程式$ax+by=c\cdots(\mathrm{i})$の1組の解を$x=p,y=q$とすると，$ap+bq=c\cdots(\mathrm{ii})$

(i)$-$(ii)より$a(x-p)+b(y-q)=0$

すなわち，$a(x-p)=-b(y-q)\cdots(\mathrm{iii})$

$a,b$は互いに素であるから，$x-p$は$b$の倍数である．

よって，$k$を整数として，$x-p=bk$と表される．

(iii)に代入して，$y-q=-ak$

したがって，解は$x=bk+p,y=-ak+q(k\text{は整数})$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.3：記数法（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

0から$n-1$までのそれぞれの整数に対応する$n$種類の数字や記号を用いて，$n$で位が1つ繰り上がるように数を表す方法を$n$進法という．

\begin{tabular}{|r||c|c|c|c|c|c|c|c|c|l|c|}
\hline 10進法&1&2&3&4&5&6&7&8&9&$\cdots$&16\\
\hline 2進法&$1$&$10$&$11$&$100$&$101$&$110$&$111$&$1000$&$1001$&$\cdots$&$10000$\\
\hline
\end{tabular}

$n$進数では，その数の右下に$(n)$と記す．

例：$2$進法の$1010_{(2)}$を10進法で表す．

\[
1010_{(2)}=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2+0=10
\]

例：10進法の$30$を2進法で表す．

$30$を右のように2で割ると，

\[
30=1\times 2^4+1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2+0=11110_{(2)}
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.4：部屋割り論法（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$n$を自然数とする．

「$n$個の部屋に$n+1$人を入れるとき，2人以上入っている部屋が少なくとも1つは存在する」

このような考え方を部屋割り論法または鳩の巣原理という．

部屋割り論法は，次の形でも使われる．

「$n$個の部屋に$n$人を入れるとき，相部屋がない場合，どの部屋にも1人ずつ人が入っている」

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.5：ガウス記号（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$x,y$を実数，$n$を整数とする．このとき，$x$について，$x$以下の最大の整数を$[x]$と表す（[]をガウス記号という）．また，次の性質が成り立つ．

(i) $[x]\leqq x<[x]+1$より，$x-1<[x]\leqq x$

(ii) $[x]+[y]\leqq[x+y]$

(iii) $[x+n]=[x]+n$

例：$[1.1]=1,[4]=4,[-3.9]=-4,[\sqrt{3}]=1,[\pi]=3$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.6：格子点（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$xy$平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点という．

例：$(1,2)$や$(-3,2)$などは格子点であり，$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$は格子点ではない．

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.7：平面上の点の位置（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

平面上に点Oをとり，Oで互いに直交する2本の数直線を，右の図のように定める．これらの直線をそれぞれ$x$軸および$y$軸といい，まとめて座標軸という．

平面上に座標軸を定めると，その平面上の点$\mathrm{P}$の位置は，右上の図のように2つの実数の組$(a,b)$で示される．この組$(a,b)$を点$\mathrm{P}$の座標といい，この点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(a,b)$と記す．座標が定められた平面を座標平面という．また，点Oは座標平面の原点といい，原点Oの座標は$(0,0)$である．

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.8：空間の点の位置（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

空間内に点Oをとり，Oで互いに直交する3本の数直線を，右の図のように定める．これらの直線をそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸という．

空間内に座標軸を定めると，その空間内の点Pの位置は，右の図のように3つの実数の組$(a,b,c)$で示される．この組$(a,b,c)$を点Pの座標といい，座標が$(a,b,c)$である点PをP$(a,b,c)$と記す．座標の定められた空間を座標空間という．また，点Oは座標空間の原点といい，原点Oの座標は$(0,0,0)$である．

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 基本事項A4.2.9：2点間の距離（One More）
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

(1) 座標平面において，点$\mathrm{A}(x_1,y_1)$，点$\mathrm{B}(x_2,y_2)$，および原点$\mathrm{O}(0,0)$があるとする．このとき，

\[
\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
\]

とくに，$\mathrm{OA}=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}$である．

(2) 座標空間において，点$\mathrm{A}(x_1,y_1,z_1)$，点$\mathrm{B}(x_2,y_2,z_2)$，および原点$\mathrm{O}(0,0,0)$があるとする．このとき，

\[
\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
\]

とくに，$\mathrm{OA}=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}$である．
数学A（One More） 4章：数学と人間の活動 1節：約数と倍数 2節：ユークリッドの互除法と不定方程式，記数法
Onemath OneMore ユークリッドの互除法と不定方程式，記数法 基本事項A 数学A 数学と人間の活動 約数と倍数
目次