% 例題I4.1.4：三角比の相互関係1 （One More）★
$A$は鋭角とする.このとき,次の問いに答えよ. (1)$\sin A=\frac{5}{7}$のとき,$\cos A$と$\tan A$の値を求めよ. (2)$\tan A=2$のとき,$\sin A$と$\cos A$の値を求めよ.
% 解答（例題I4.1.4）
(1)$\sin ^2 A+\cos ^2 A=1$より,$$\cos ^2 A=1-\sin ^2 A=1-\left(\frac{5}{7}\right)^2=\frac{24}{49}$$$A$は鋭角であるから,$\cos A>0$よって,$\cos A=\frac{\sqrt{24}}{7}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$また,$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{5}{7} \div\frac{2\sqrt{6}}{7}=\frac{5}{2\sqrt{6}}$(2)$1+\tan ^2 A=\frac{1}{\cos ^2 A}$より,$\frac{1}{\cos ^2 A}=1+2^2=5$したがって,$\cos ^2 A=\frac{1}{5}$$A$は鋭角であるから,$\cos A>0$よって,$\cos A=\frac{1}{\sqrt{5}}$また,$\sin A=\tan A \cos A=2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
% 問題I4.1.4
$A$は鋭角とする.このとき,次の問いに答えよ. (1)$\sin A=\frac{4}{5}$のとき,$\cos A$と$\tan A$の値を求めよ. (2)$\tan A=\frac{\sqrt{2}}{4}$のとき,$\sin A$と$\cos A$の値を求めよ.
% 解答I4.1.4
(1)$\sin ^2 A+\cos ^2 A=1$より,$\cos ^2 A=1-\sin ^2 A=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$$A$は鋭角であるから,$\cos A>0$よって,$\cos A=\frac{\sqrt{9}}{5}=\frac{3}{5}$また,$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{4}{5} \div\frac{3}{5}=\frac{4}{3}$(2)$1+\tan ^2 A=\frac{1}{\cos ^2 A}$より,$\frac{1}{\cos ^2 A}=1+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2=\frac{18}{16}$したがって,$\cos ^2 A=\frac{16}{18}$$A$は鋭角であるから,$\cos A>0$よって,$\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$また,$\sin A=\tan A \cos A=\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}$
