% 例題I4.1.5：余角・補角の三角比 （One More）★★
(1)$\sin 50^{\circ},\cos 130^{\circ}$を$45^{\circ}$以下の三角比で表せ.また,$\sin 40^{\circ} \cos 130^{\circ}+\sin 50^{\circ} \cos 140^{\circ}$を簡単にせよ. (2)$\triangle \mathrm{ABC}$の3つの内角$\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}$の大きさを,それぞれ$A,B,C$とするとき,等式$\sin\frac{C}{2}=\cos\frac{A+B}{2}$が成り立つことを証明せよ.
% 解答（例題I4.1.5）
(1)$$\sin 50^{\circ}=\sin \left(90^{\circ}-40^{\circ}\right)=\cos 40^{\circ} \cdots (\mathrm{i}),$$$$\cos 130^{\circ} =\cos \left(180^{\circ}-50^{\circ}\right) =-\cos 50^{\circ} =-\cos \left(90^{\circ}-40^{\circ}\right) =-\sin 40^{\circ} \cdots (\mathrm{ii})$$$\cos 140^{\circ}=\cos \left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)=-\cos 40^{\circ}$であるから,これと(i),(ii)より,$$\begin{aligned} & \sin 40^{\circ} \cos 130^{\circ}+\sin 50^{\circ} \cos 140^{\circ} \\ &=\sin 40^{\circ}\left(-\sin 40^{\circ}\right)+\cos 40^{\circ}\left(-\cos 40^{\circ}\right)\\ &=-\sin ^2 40^{\circ}-\cos ^2 40^{\circ} \\ &=-\left(\sin ^2 40^{\circ}+\cos ^2 40^{\circ}\right)\\ &=-1 \end{aligned}$$(2)$A+B+C=180^{\circ}$であるから,$A+B=180^{\circ}-C$したがって,$\frac{A+B}{2}=\frac{180^{\circ}-C}{2}=90^{\circ}-\frac{C}{2}$ゆえに,$\cos\frac{A+B}{2}=\cos \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right)=\sin\frac{C}{2}$よって,等式は成り立つ.$\blacksquare$
% 問題I4.1.5
(1)$\sin 55^{\circ},\cos 125^{\circ}$を$45^{\circ}$以下の三角比で表せ.また,$\sin 35^{\circ} \cos 125^{\circ}+\sin 55^{\circ} \cos 145^{\circ}$を簡単にせよ. (2)$\triangle \mathrm{ABC}$の3つの内角$\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}$の大きさを,それぞれ$A,B,C$とするとき,等式$\tan\frac{A}{2} \tan\frac{B+C}{2}=1$が成り立つことを証明せよ.
% 解答I4.1.5
(1)$$\sin 55^{\circ}=\sin \left(90^{\circ}-35^{\circ}\right)=\cos 35^{\circ} \cdots (\mathrm{i}),$$$$\cos 125^{\circ} =\cos \left(180^{\circ}-55^{\circ}\right) =-\cos 55^{\circ} =-\cos \left(90^{\circ}-35^{\circ}\right) =-\sin 35^{\circ} \cdots (\mathrm{ii})$$$\cos 145^{\circ}=\cos \left(180^{\circ}-35^{\circ}\right)=-\cos 35^{\circ}$であるから,これと(i),(ii)より,$$\begin{aligned} & \sin 35^{\circ} \cos 125^{\circ}+\sin 55^{\circ} \cos 145^{\circ} \\ &=\sin 35^{\circ}\left(-\sin 35^{\circ}\right)+\cos 35^{\circ}\left(-\cos 35^{\circ}\right)\\ &=-\sin ^2 35^{\circ}-\cos ^2 35^{\circ} \\ &=-\left(\sin ^2 35^{\circ}+\cos ^2 35^{\circ}\right)\\ &=-1 \end{aligned}$$(2)$A+B+C=180^{\circ}$であるから,$B+C=180^{\circ}-A$したがって,$\frac{B+C}{2}=\frac{180^{\circ}-A}{2}=90^{\circ}-\frac{A}{2}$ゆえに,$\tan\frac{A}{2} \tan\frac{B+C}{2}=\tan\frac{A}{2} \cdot \frac{1}{\tan\frac{A}{2}}=1$よって,等式は成り立つ.$\blacksquare$
