% 例題I4.1.7：三角比の相互関係2 （One More）★★
(1)$\sin \alpha=\frac{5}{13}$のとき,$\cos \alpha,\tan \alpha$の値を求めよ.ただし,$90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$とする. (2)$\tan \beta=-\frac{3}{4}$のとき,$\sin \beta,\cos \beta$の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \beta \leqq 180^{\circ}$とする.
% 解答（例題I4.1.7）
(1)$\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$より,$\cos ^2 \alpha=1-\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144}{169}$$90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$において,$\cos \alpha<0$よって,$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}$また,$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{5}{13} \div\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13} \times\left(-\frac{13}{12}\right)=-\frac{5}{12}$(2)$1+\tan ^2 \beta=\frac{1}{\cos ^2 \beta}$より,$\frac{1}{\cos ^2 \beta}=1+\tan ^2 \beta=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{25}{16}$したがって,$\cos ^2 \beta=\frac{16}{25}$\tan \beta=-\frac{3}{4}<0$より,$90^{\circ}<\beta<180^{\circ}$であるから,$\cos \beta<0$よって,$\cos \beta=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$また,$\tan \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}$より,$\sin \beta=\tan \beta \cdot \cos \beta=-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}$
% 問題I4.1.7
(1)$\sin \alpha=\frac{2}{3}$のとき,$\cos \alpha,\tan \alpha$の値を求めよ.ただし,$90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$とする. (2)$\tan \beta=-2$のとき,$\sin \beta,\cos \beta$の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \beta \leqq 180^{\circ}$とする.
% 解答I4.1.7
(1)$\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$より,$\cos ^2 \alpha=1-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9}$90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$において,$\cos \alpha<0$よって,$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{5}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$また,$\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{2}{3} \div\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2}{3} \times\left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{5}}$(2)$1+\tan ^2 \beta=\frac{1}{\cos ^2 \beta}$より,$\frac{1}{\cos ^2 \beta}=1+\tan ^2 \beta=1+(-2)^2=5$したがって,$\cos ^2 \beta=\frac{1}{5}$\tan \beta=-2<0$より,$90^{\circ}<\beta<180^{\circ}$であるから,$\cos \beta<0$よって,$\cos \beta=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$また,$\tan \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}$より,$\sin \beta=\tan \beta \cdot \cos \beta=-2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\frac{2}{\sqrt{5}}$
