% 例題I4.1.8：三角比の式の値 （One More）★★★
$\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき,次の式の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする. (1)$\sin \theta \cos \theta$(2)$\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta$(3)$\sin \theta-\cos \theta$
% 解答（例題I4.1.8）
(1)$\sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot s(\mathrm{i})$の両辺を2乗すると,$$\sin ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta=\frac{1}{2}$$したがって,$1+2 \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2}$よって,$\sin \theta \cos \theta=-\frac{1}{4} \cdot s(\mathrm{ii})$(2)$\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=(\sin \theta+\cos \theta)^3-3 \sin \theta \cos \theta(\sin \theta+\cos \theta)$(i),(ii)を代入すると,$\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3-3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$別解：$$\begin{aligned} \sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta &=(\sin \theta+\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta\right)\\ &={(\sin \theta+\cos \theta)(1-\sin \theta \cos \theta)} \end{aligned}$$(i),(ii)を代入すると,$\sin ^3 \theta+\cos ^3 \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\left\{1-\left(-\frac{1}{4}\right)\right\}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$(3)$(\sin \theta-\cos \theta)^2 =\sin ^2 \theta-2 \sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta =1-2 \sin \theta \cos \theta$(ii)を代入すると,$(\sin \theta-\cos \theta)^2=1-2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2}$$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$のとき,(ii)より,$\sin \theta>0,\cos \theta<0$したがって,$\sin \theta-\cos \theta>0$よって,$\sin \theta-\cos \theta=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
% 問題I4.1.8
$\sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき,次の式の値を求めよ.ただし,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする. (1)$\sin \theta \cos \theta$(2)$\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta$(3)$\sin \theta+\cos \theta$
% 解答I4.1.8
(1)$\sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2} \cdot s(\mathrm{i})$の両辺を2乗すると,$\sin ^2 \theta-2 \sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta=\frac{1}{4}$したがって,$1-2 \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4}$よって,$\sin \theta \cos \theta=\frac{3}{8} \cdot s(\mathrm{ii})$(2)$\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta=(\sin \theta-\cos \theta)^3+3 \sin \theta \cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)$(i),(ii)を代入すると,$\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta=\left(\frac{1}{2}\right)^3+3 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}=\frac{11}{16}$別解：$\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta=(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^2 \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta\right)$(i),(ii)を代入すると,$\sin ^3 \theta-\cos ^3 \theta=\frac{1}{2} \cdot \left(1+\frac{3}{8}\right)=\frac{11}{16}$(3)$(\sin \theta+\cos \theta)^2 =\sin ^2 \theta+2 \sin \theta \cos \theta+\cos ^2 \theta=1+2 \sin \theta \cos \theta$(ii)を代入すると,$(\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2 \cdot \frac{3}{8}=\frac{7}{4}$$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$のとき,(ii)より,$\sin \theta>0,\cos \theta>0$したがって,$\sin \theta+\cos \theta>0$よって,$\sin \theta+\cos \theta=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
