% 例題I4.1.13：三角比を含む不等式3 （One More）★★★
次の不等式を解け.ただし,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする. (1)$2 \cos ^2 \theta+\cos \theta-1 \geqq 0$(2)$8 \cos ^2 \theta<1+10\sin \theta$
% 解答（例題I4.1.13）
(1)$2 \cos ^2 \theta+\cos \theta-1 \geqq 0 \cdots (\mathrm{i})$とする.$\cos \theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$-1 \leqq t \leqq 1 \cdots (\mathrm{ii})$また,(i)の不等式は,$2t^2+t-1 \geqq 0$より,$(t+1)(2t-1) \geqq 0$したがって,$t \leqq -1,\frac{1}{2} \leqq t$これと(ii)より,$t=-1,\frac{1}{2} \leqq t \leqq 1$すなわち,$\cos\theta=-1,\frac{1}{2} \leqq \cos\theta \leqq 1$よって,求める解は,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 60^{\circ},\theta=180^{\circ}$(2)$8\cos ^2 \theta<1+10 \sin \theta$より,$8\left(1-\sin ^2 \theta\right)<1+10 \sin \theta$したがって,$8\sin ^2 \theta+10 \sin \theta-7>0 \cdots (\mathrm{i})$\sin\theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$0 \leqq t \leqq 1 \cdots (\mathrm{ii})$また,(i)の不等式は,$8t^2+10t-7>0$より,$(4t+7)(2t-1)>0$ゆえに,$t<-\frac{7}{4},\frac{1}{2}<t$これと(ii)より,$\frac{1}{2}0$(2)$2 \sin ^2 \theta-3 \sin \theta+1 \geqq 0$
% 解答I4.1.13
(1)$2 \sin ^2 \theta+\cos \theta-2>0$より,$2(1-\cos ^2 \theta)+\cos \theta-2>0$したがって,$2 \cos ^2 \theta-\cos \theta<0 \cdots (\mathrm{i})$\cos \theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$-1 \leqq t \leqq 1 \cdots (\mathrm{ii})$また,(i)の不等式は,$2t^2-t<0$より,$t(2t-1)<0$ゆえに,$0<t<\frac{1}{2}$これと(ii)より,$0<\cos\theta<\frac{1}{2}$よって,求める解は,$60^{\circ}<\theta<90^{\circ}$(2)$2 \sin ^2 \theta-3 \sin \theta+1 \geqq 0$より,$2t^2-3 t+1 \geqq 0 \cdots (\mathrm{i})$\sin\theta=t$とおくと,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$より,$0 \leqq t \leqq 1 \cdots (\mathrm{ii})$また,(i)の不等式は,$2t^2-3 t+1 \geqq 0$より,$(2t-1)(t-1) \geqq 0$したがって,$t \leqq\frac{1}{2},1 \leqq t$これと(ii)より,$0 \leqq t \leqq\frac{1}{2},t=1$すなわち,$0 \leqq \sin \theta \leqq\frac{1}{2},\sin \theta=1$よって,求める解は,$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 30^{\circ},150^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ},\theta=90^{\circ}$
