問題の解答
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% 例題I4.1.16：三角比を含む方程式の解の個数2 （One More）★★★★
方程式$2 \sin^2\theta-a \sin \theta+1=0 \left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\right)$を満たす$\theta$が異なる4個の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
% 解答（例題I4.1.16）
$\sin \theta=t$とおくと,与えられた方程式は,$2 t^2-a t+1=0$となり,この2次方程式の判別式を$D$とする.$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$のとき,$t$の値の範囲は$0 \leqq t \leqq 1$であり,$0 \leqq t<1$のとき,$\sin \theta=t$を満たす$\theta$の値は2個であり,$t=1$のとき$\sin \theta=1$を満たす$\theta$の値は1個である. したがって,与えられた方程式を満たす$\theta$が$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$の範囲で異なる4個の解をもつのは,$2 t^2-a t+1=0$が$0 \leqq t<1$の範囲で異なる2つの実数解をもつときである. ゆえに,求める条件は,$f(t)=2 t^2-a t+1$とすると,(i)$D>0$,(ii)軸が$0<t<1$の間にある,(iii)$f(0) \geqq 0,f(1)>0$である. (i)$D=a^2-4 \cdot 2 \cdot 1=a^2-8$であり,$D>0$である から,$a^2-8>0$したがって,$a<-2\sqrt{2},2\sqrt{2}<a$(ii)軸は直線$t=\frac{a}{4}$であるから,$0<\frac{a}{4}<1$より,$0<a<4$(iii)$f(0)=1,f(1)=-a+3$であり,$f(0) \geqq 0$かつ$f(1)>0$より,$-a+3>0$したがって,$a<3$よって,(i)〜(iii)より,求める$a$の値の範囲は,$2\sqrt{2}<a<3$
% 問題I4.1.16
方程式$2 \cos^2 \theta+a \cos \theta+1=0 \left(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ}\right)$を満たす$\theta$が異なる2個の解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ.
% 解答I4.1.16
$\cos \theta=t$とおくと,与えられた方程式は$2 t^2+a t+1=0$となり,この2次方程式の判別式を$D$とする.$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ}$のとき,$t$の値の範囲は$0 \leqq t \leqq 1$であり,$0 \leqq t \leqq 1$のとき,$\cos \theta=t$を満たす$\theta$の値は1個である. したがって,与えられた方程式を満たす$\theta$が$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ}$の範囲で異なる2個の解をもつのは,$2 t^2+a t+1=0$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲で異なる2つの実数解をもつときである. ゆえに,求める条件は,$f(t)=2 t^2+a t+1$とすると,(i)$D>0$,(ii)軸が$0<t<1$の範囲にある,(iii)$f(0) \geqq 0,f(1) \geqq 0$である. (i)$D=a^2-4 \cdot 2 \cdot 1=a^2-8$であり,$D>0$である から,$a^2-8>0$したがって,$a<-2\sqrt{2},2\sqrt{2}<a$(ii)軸は直線$t=-\frac{a}{4}$であるから,$0<-\frac{a}{4}<1$より,$-4<a<0$(iii)$f(0)=1,f(1)=a+3$であり,$f(0) \geqq 0$かつ$f(1) \geqq 0$より,$a+3 \geqq 0$したがって,$-3 \leqq a$よって,(i)〜(iii)より,求める$a$の値の範囲は,$-3 \leqq a<-2\sqrt{2}$
注：\(2\sqrt{2}\fallingdotseq2.83\)