% 例題I4.2.2：余弦定理 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,次の値を求めよ. (1)$b=5\sqrt{2},c=8,A=45^{\circ}$のとき,$a$(2)$a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=1$のとき,$A$(3)$a=2\sqrt{6},b=4,A=60^{\circ}$のとき,$c$
% 解答（例題I4.2.2）
(1)余弦定理より,$\begin{aligned} a^2 &=(5\sqrt{2})^2+8^2-2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos 45^{\circ} \\ &=50+64-80\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &=114-80=34 \end{aligned}$よって,$a>0$より,$a=\sqrt{34}$(2)余弦定理より,$\begin{aligned} \cos A &=\frac{(\sqrt{2})^2+1^2-(\sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1} \\ &=\frac{2+1-5}{2\sqrt{2}} =\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$よって,$0^{\circ}<A<180^{\circ}$であるから,$A=135^{\circ}$(3)余弦定理より,$(2\sqrt{6})^2=4^2+c^2-2 \cdot 4 \cdot c \cdot \cos 60^{\circ}$したがって,$c^2-4 c-8=0$これを解くと,$c=2 \pm 2\sqrt{3}$よって,$c>0$より,$c=2+2\sqrt{3}$
% 問題I4.2.2
$\triangle \mathrm{ABC}$において,次の値を求めよ. (1)$a=6,b=4,C=120^{\circ}$のとき,$c$(2)$a=5,b=7,c=8$のとき,$B$(3)$a=2,c=\sqrt{6},C=60^{\circ}$のとき,$b$
% 解答I4.2.2
(1)余弦定理より,$\begin{aligned} c^2 &=6^2+4^2-2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 120^{\circ} \\ &=36+16+24=76 \end{aligned}$よって,$c>0$より,$c=\sqrt{76}$(2)余弦定理より,$\begin{aligned} \cos B &=\frac{5^2+8^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} \\ &=\frac{25+64-49}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2} \end{aligned}$よって,$B=60^{\circ}$(3)余弦定理より,$(\sqrt{6})^2=2^2+b^2-2 \cdot 2 \cdot b \cdot \cos 60^{\circ}$したがって,$b^2-2b-2=0$これを解くと,$b=1\pm\sqrt{3}$よって,$b>0$より,$b=1+\sqrt{3}$
