% 例題I4.2.3：三角形の辺と角1 （One More）★★
次の場合について,$\triangle \mathrm{ABC}$の残りの辺の長さと角の大きさを求めよ. (1)$b=2\sqrt{3},c=3-\sqrt{3},A=120^{\circ}$(2)$a=\sqrt{2},b=2,c=\sqrt{3}-1$
% 解答（例題I4.2.3）
(1)余弦定理より,$a^2=(2\sqrt{3})^2+(3-\sqrt{3})^2-2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (3-\sqrt{3}) \cdot \cos 120^{\circ} =18$したがって,$a>0$であるから,$a=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$余弦定理より,$\cos B=\frac{(3-\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}{2 \cdot (3-\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ゆえに,$B=45^{\circ}$よって,$C=180^{\circ}-\left(120^{\circ}+45^{\circ}\right)=15^{\circ}$(2)余弦定理より,$\cos A =\frac{2^2+(\sqrt{3}-1)^2-(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}-1)} =\frac{6-2\sqrt{3}}{2 \cdot 2(\sqrt{3}-1)}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2 \cdot 2(\sqrt{3}-1)} =\frac{\sqrt{3}}{2}$したがって,$A=30^{\circ}$余弦定理より,$\begin{aligned} \cos B &=\frac{(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{2})^2-2^2}{2 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \sqrt{2}} \\ &=\frac{2-2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}\\&=\frac{-2(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$したがって,$B=135^{\circ}$よって,$C=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+135^{\circ}\right)=15^{\circ}$
% 問題I4.2.3
次の場合について,$\triangle \mathrm{ABC}$の残りの辺の長さと角の大きさを求めよ. (1)$b=\sqrt{6}-\sqrt{2},c=2,A=135^{\circ}$(2)$a=2\sqrt{2},b=2,c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
% 解答I4.2.3
(1)余弦定理より,$a^2=(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2+2^2-2 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot 2 \cdot \cos 135^{\circ} =8$したがって,$a>0$であるから,$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$正弦定理より,$\frac{2}{\sin C}=\frac{2\sqrt{2}}{\sin 135^\circ}$ゆえに,$\sin C=\frac{1}{2}$0^{\circ}<C<180^{\circ}-135^{\circ}$より,$0^{\circ}<C<45^{\circ}$であるから,$C=30^{\circ}$よって,$B=180^{\circ}-\left(135^{\circ}+30^{\circ}\right)=15^{\circ}$(2)余弦定理より,$\cos A =\frac{2^2+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})} =\frac{\sqrt{2}}{2}$したがって,$A=45^{\circ}$余弦定理より,$\begin{aligned} \cos B &=\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2-2^2}{2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{2}} \\ &=\frac{12+4\sqrt{3}}{4\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$したがって,$B=30^{\circ}$よって,$C=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=105^{\circ}$
