% 例題I4.2.4：三角形の辺と角2 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$b=2\sqrt{3},c=2,C=30^{\circ}$のとき,残りの辺の長さと角の大きさを求めよ.
% 解答（例題I4.2.4）
余弦定理より,$2^2=a^2+(2\sqrt{3})^2-2 \cdot a \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ}$したがって,$a^2-6 a+8=0$ゆえに,$(a-2)(a-4)=0$これを解くと,$a=2,4$(i)$a=4$のとき 余弦定理より,$\cos A=\frac{(2\sqrt{3})^2+2^2-4^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2}=0$したがって,$A=90^{\circ}$ゆえに,$B=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+30^{\circ}\right)=60^{\circ}$(ii)$a=2$のとき 余弦定理より,$\cos A=\frac{(2\sqrt{3})^2+2^2-2^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$したがって,$A=30^{\circ}$ゆえに,$B=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+30^{\circ}\right)=120^{\circ}$よって,(i),(ii)より,$a=4,A=90^{\circ},B=60^{\circ}$または$a=2,A=30^{\circ},B=120^{\circ}$別解：正弦定理より,$\frac{2\sqrt{3}}{\sin B}=\frac{2}{\sin 30^{\circ}}$であるから,$\sin B=\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$したがって,$B=60^\circ,120^\circ$(i)$B=60^\circ$のとき,$A=180^\circ-(60^\circ+30^\circ)=90^\circ$であるから,$a=4$(ii)$B=120^\circ$のとき,$A=180^\circ-(120^\circ+30^\circ)=30^\circ$$\triangle \mathrm{ABC}$は,$\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形であるから,$a=2$よって,(i),(ii)より,$a=4,A=90^{\circ},B=60^{\circ}$または$a=2,A=30^{\circ},B=120^{\circ}$
% 問題I4.2.4
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$b=2\sqrt{2},c=2,C=30^{\circ}$のとき,残りの辺の長さと角の大きさを求めよ.
% 解答I4.2.4
余弦定理より,$2^2=a^2+(2\sqrt{2})^2-2 \cdot a \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos 30^{\circ}$したがって,$a^2-2\sqrt{6} a+4=0$これを解くと,$a=\sqrt{6}\pm\sqrt{2}$(i)$a=\sqrt{6}+\sqrt{2}$のとき 余弦定理より,$$\cos B=\frac{2^2+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$したがって,$B=45^{\circ}$ゆえに,$A=180^{\circ}-\left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=105^{\circ}$(ii)$a=\sqrt{6}-\sqrt{2}$のとき 余弦定理より,$$\cos B=\frac{2^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-(2\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$したがって,$B=135^{\circ}$ゆえに,$A=180^{\circ}-\left(135^{\circ}+30^{\circ}\right)=15^{\circ}$よって,(i),(ii)より,$a=\sqrt{6}+\sqrt{2},A=105^{\circ},B=45^{\circ}$または$a=\sqrt{6}-\sqrt{2},A=15^{\circ},B=135^{\circ}$別解：正弦定理より,$\frac{2\sqrt{2}}{\sin B}=\frac{2}{\sin 30^{\circ}}$であるから,$\sin B=\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$したがって,$B=45^\circ,135^\circ$(i)$B=45^\circ$のとき,$A=180^\circ-(45^\circ+30^\circ)=105^\circ$このとき,$$\begin{aligned} a &=c \cos B+b \cos C \\ &=2 \cos 45^{\circ}+2\sqrt{2} \cos 30^{\circ}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\end{aligned}$$(ii)$B=135^\circ$のとき,$A=180^\circ-(135^\circ+30^\circ)=15^\circ$このとき,$$\begin{aligned} a &=b \cos C+c \cos B \\ &=2\sqrt{2} \cos 30^{\circ}+2 \cos 135^{\circ}=\sqrt{6}-\sqrt{2}\end{aligned}$$よって,(i),(ii)より,$a=\sqrt{6}+\sqrt{2},A=105^{\circ},B=45^{\circ}$または$a=\sqrt{6}-\sqrt{2},A=15^{\circ},B=135^{\circ}$
