% 例題I4.2.5：正弦定理と余弦定理の利用 （One More）★★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\sin A: \sin B: \sin C=5: 8: 7$が成り立つとき,2番目に大きい角の大きさを求めよ.
% 解答（例題I4.2.5）
正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$より,$a: b: c=\sin A: \sin B: \sin C$これと$\sin A: \sin B: \sin C=5: 8: 7$より,$a: b: c=5: 8: 7$したがって,2番目に長い辺は$c$であるから,$C$が2番目に大きい角である.$a=5k,b=8k,c=7k (k>0)$とおくと,余弦定理より,$\begin{aligned} \cos C &=\frac{(5k)^2+(8k)^2-(7k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 8k} \\ &=\frac{25k^2+64k^2-49k^2}{80k^2} \\ &=\frac{40k^2}{80k^2}=\frac{1}{2} \end{aligned}$$0^{\circ}<C<180^{\circ}$より,$C=60^{\circ}$よって,2番目に大きい角の大きさは,$60^{\circ}$である.
% 問題I4.2.5
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\sin A: \sin B: \sin C=3: 5: 7$が成り立つとき,最大の角の大きさを求めよ.
% 解答I4.2.5
正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$より,$a: b: c=\sin A: \sin B: \sin C$したがって,$\sin A: \sin B: \sin C=3: 5: 7$であるから,$a: b: c=3: 5: 7$ゆえに,最も長い辺は$c$であるから,$C$が最大の角である.$a=3k,b=5k,c=7k (k>0)$とおくと,余弦定理より,$\begin{aligned} \cos C &=\frac{(3k)^2+(5k)^2-(7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} \\ &=\frac{9k^2+25k^2-49k^2}{30k^2} \\ &=\frac{-15k^2}{30k^2}=-\frac{1}{2} \end{aligned}$$0^{\circ}<C<180^{\circ}$より,$C=120^{\circ}$よって,最大の角の大きさは,$120^{\circ}$である.
