% 例題I4.2.7：三角形の形状の決定 （One More）★★★
次の等式が成り立つとき,$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か. (1)$\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2(A+B)$(2)$a \cos A+b \cos B=c \cos C$
% 解答（例題I4.2.7）
(1)$\sin(A+B)=\sin \left(180^{\circ}-C\right)=\sin C$より,与えられた式は,$$\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin ^2 C \cdots (\mathrm{i})$$$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると,正弦定理より,$$\sin A=\frac{a}{2 R},\sin B=\frac{b}{2 R},\sin C=\frac{c}{2 R}$$(i)に代入すると,$$\left(\frac{a}{2 R}\right)^2+\left(\frac{b}{2 R}\right)^2=\left(\frac{c}{2 R}\right)^2$$したがって,$a^2+b^2=c^2$よって,$\triangle \mathrm{ABC}$は,$C=90^{\circ}$の直角三角形 (2)$a \cos A+b \cos B=c \cos C \cdots (\mathrm{i})$とする. 余弦定理より,$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c},\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}$$(i)に代入すると,$$a \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} +b \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a} =c \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}$$両辺に$2 a b c$を掛けると,$$a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)+b^2\left(c^2+a^2-b^2\right) =c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)$$整理すると,$a^4-2 a^2 b^2+b^4-c^4=0$したがって,$\left(a^2-b^2\right)^2-\left(c^2\right)^2=0$ゆえに,$\left(a^2-b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)=0$したがって,$a^2-b^2-c^2=0$または$a^2-b^2+c^2=0$すなわち,$a^2=b^2+c^2$または$b^2=a^2+c^2$よって,$\triangle \mathrm{ABC}$は,$A=90^{\circ}$または$B=90^{\circ}$の直角三角形
% 問題I4.2.7
次の等式が成り立つとき,$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形か. (1)$a \sin A=b \sin B$(2)$\sin A \cos A=\sin B \cos B$
% 解答I4.2.7
(1)$a \sin A=b \sin B \cdots (\mathrm{i})$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると,正弦定理より,$$\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R} \cdots (\mathrm{ii})$$(ii)を(i)に代入すると,$$a \cdot \frac{a}{2R}=b \cdot \frac{b}{2R}$$したがって,$a^2=b^2$$a>0,b>0$より,$a=b$よって,$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形 (2)$\sin A \cos A=\sin B \cos B \cdots (\mathrm{iii})$とする. 余弦定理により,$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c},\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a} \cdots (\mathrm{iv})$$(ii),(iv)を(iii)に代入すると,$$\frac{a}{2 R} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}=\frac{b}{2 R} \cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}$$両辺に$4Rabc$を掛けると,$$a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)=b^2\left(c^2+a^2-b^2\right)$$整理すると,$\left(a^2-b^2\right)c^2-\left(a^4-b^4\right)=0$したがって,$\left(a^2-b^2\right)c^2-\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0$ゆえに,$(a+b)(a-b)\left(c^2-a^2-b^2\right)=0$$a+b>0$より,$a=b$または$a^2+b^2=c^2$よって,$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形または$C=90^{\circ}$の直角三角形
