問題の解答
検索用コード（LaTeX）
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% 例題I4.2.7：三角形の形状の決定（One More）★★★
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次の等式が成り立つとき，$\triangle\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(1) $\sin^2A+\sin^2B=\sin^2(A+B)$
(2) $a\cos A+b\cos B=c\cos C$
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% 例題I4.2.7の解答（One More）★★★
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(1) $\sin(A+B)=\sin(180^{\circ}-C)=\sin C$より，与えられた式は，
\[
\sin^2A+\sin^2B=\sin^2C\cdots(\mathrm{i})
\]
$\triangle\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると，正弦定理より，
\[
\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}
\]
(i)に代入すると，
\[
(\frac{a}{2R})^2+(\frac{b}{2R})^2=(\frac{c}{2R})^2
\]
したがって，$a^2+b^2=c^2$
よって，$\triangle\mathrm{ABC}$は，$C=90^{\circ}$の直角三角形
(2) $a\cos A+b\cos B=c\cos C\cdots(\mathrm{i})$とする．
余弦定理より，
\[
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\]
(i)に代入すると，
\[
a\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+b\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=c\cdot\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\]
両辺に$2abc$を掛けると，
\[
a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)=c^2(a^2+b^2-c^2)
\]
整理すると，$a^4-2a^2b^2+b^4-c^4=0$
したがって，$(a^2-b^2)^2-(c^2)^2=0$
ゆえに，$(a^2-b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)=0$
したがって，$a^2-b^2-c^2=0$または$a^2-b^2+c^2=0$
すなわち，$a^2=b^2+c^2$または$b^2=a^2+c^2$
よって，$\triangle\mathrm{ABC}$は，$A=90^{\circ}$または$B=90^{\circ}$の直角三角形
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% 問題I4.2.7：三角形の形状の決定（One More）★★★
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次の等式が成り立つとき，$\triangle\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．
(1) $a\sin A=b\sin B$
(2) $\sin A\cos A=\sin B\cos B$
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% 問題I4.2.7の解答（One More）★★★
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(1) $a\sin A=b\sin B\cdots(\mathrm{i})$とする．
$\triangle\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とすると，正弦定理より，
\[
\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R}\cdots(\mathrm{ii})
\]
(ii)を(i)に代入すると，
\[
a\cdot\frac{a}{2R}=b\cdot\frac{b}{2R}
\]
したがって，$a^2=b^2$
$a>0,b>0$より，$a=b$
よって，$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形
(2) $\sin A\cos A=\sin B\cos B\cdots(\mathrm{iii})$とする．
余弦定理により，
\[
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\cdots(\mathrm{iv})
\]
(ii)，(iv)を(iii)に代入すると，
\[
\frac{a}{2R}\cdot\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b}{2R}\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
\]
両辺に$4Rabc$を掛けると，
\[
a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(c^2+a^2-b^2)
\]
整理すると，$(a^2-b^2)c^2-(a^4-b^4)=0$
したがって，$(a^2-b^2)c^2-(a^2-b^2)(a^2+b^2)=0$
ゆえに，$(a+b)(a-b)(c^2-a^2-b^2)=0$
$a+b>0$より，$a=b$または$a^2+b^2=c^2$
よって，$\triangle\mathrm{ABC}$は$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形または$C=90^{\circ}$の直角三角形
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