% 例題I4.3.2：多角形の面積 （One More）★★
(1)半径$a$の円に内接する正八角形の面積$S$を求めよ. (2)1辺の長さが1の正十二角形の面積$S$を求めよ.
% 解答（例題I4.3.2）
(1)右の図のように,正八角形を対角線によって8個の合同な三角形に分け,3点O,A,Bをとると,$$\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ} \div 8=45^{\circ}$$よって,求める面積$S$は,$$S =8 \times \triangle \mathrm{OAB}=8 \times\frac{1}{2} a^2 \sin 45^{\circ} =8 \times\frac{\sqrt{2}}{4} a^2=2\sqrt{2} a^2$$(2) 右の図のように,1辺の長さが1の正十二角形を対角線によって12個の合同な三角形に分け,3点O,A,Bをとると,$$\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ} \div 12=30^{\circ}$$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=a$とすると,$\triangle \mathrm{OAB}$において,余弦定理より,$$1^2=a^2+a^2-2 a \cdot a \cdot \cos 30^{\circ}$$したがって,$1=(2-\sqrt{3})a^2$ゆえに,$a^2=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$よって,求める面積$S$は,$S=12 \times \triangle \mathrm{OAB}=12 \times\frac{1}{2} a^2 \sin 30^{\circ}=6+3\sqrt{3}$
% 問題I4.3.2
(1)1辺の長さが1の正八角形の面積$S$を求めよ. (2)半径1の円に内接する正十二角形の面積$S$を求めよ.
% 解答I4.3.2
(1)右の図のように,1辺の長さが1の正八角形を対角線によって8個の合同な三角形に分け, 3点O,A,Bをとると,$$\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ} \div 8=45^{\circ}$$余弦定理より,$$1^2=a^2+a^2-2a \cdot a \cdot \cos 45^{\circ}$$$$1=2a^2\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2a^2 \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2}=a^2(2-\sqrt{2})$$したがって,$$a^2=\frac{1}{2-\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$$よって,求める面積$S$は,$$S=8 \times \triangle \mathrm{OAB}=8 \times\frac{1}{2} a^2 \sin 45^{\circ}=8\times\frac{\sqrt{2}}{4}a^2=\sqrt{2}(2+\sqrt{2})=2+2\sqrt{2}$$(2)右の図のように,正十二角形を対角線によって12個の合同な三角形に分け,3点O,A,Bをとると,$$\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ} \div 12=30^{\circ}$$よって,求める面積$S$は,$$S=12 \times \triangle \mathrm{OAB}=12 \times\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin 30^{\circ}=3$$
