% 例題I4.3.3：三角形の内接円と外接円の半径 （One More）★★
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$a=3,b=\sqrt{5},c=2$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$\cos B,\sin B$(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$
% 解答（例題I4.3.3）
(1)余弦定理より,$\cos B=\frac{2^2+3^2-(\sqrt{5})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2}=\frac{2}{3}$また,$\sin B>0$より,$$\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$(2)求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$$S=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}$$(3)(2),$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$より,$$\sqrt{5}=\frac{1}{2} r(3+\sqrt{5}+2)$$よって,$$r=\frac{2\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}(5-\sqrt{5})}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$(4)正弦定理より,$$R=\frac{b}{2\sin B}=\sqrt{5}\div \left(2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{3}{2}$$よって,外接円の半径は,$R=\frac{3}{2}$
% 問題I4.3.3
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$a=4,b=5,c=6$とする.このとき,次の値を求めよ. (1)$\cos A,\sin A$(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$
% 解答I4.3.3
(1)余弦定理より,$\cos A=\frac{5^2+6^2-4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}=\frac{3}{4}$また,$\sin A>0$より,$$\sin A=\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{16}-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$(2)求める$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$は,$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$(3)(2),$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$より,$\frac{15\sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2}r(4+5+6)$よって,$r=\frac{2 \cdot 15\sqrt{7}}{4 \cdot 15}=\frac{\sqrt{7}}{2}$(4)正弦定理より,$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}={\frac{8}{\sqrt{7}}}={\frac{8\sqrt{7}}{7}}$よって,外接円の半径は,$R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$
