% 例題I4.3.8:空間図形の測量 (One More)★★
水平な地面に垂直に立つ木があり,木の頂点をA,その真下の地面上の点をDとする.また,地面上で互いに80m離れた2点B,Cを定め,$\angle \mathrm{ABC},\angle \mathrm{ACB},\angle \mathrm{ACD}$を測定したところ,それぞれ$75^{\circ},60^{\circ},30^{\circ}$であった.このとき,木の高さADを求めよ.
% 解答(例題I4.3.8)
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$$\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-(75^{\circ}+60^{\circ}) =45^{\circ}$$正弦定理より,$$\frac{80}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\sin 60^{\circ}}$$したがって,$$\mathrm{AB}=\frac{80 }{\sin 45^\circ} \cdot \sin 60^\circ =80 \div\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{6}$$$\mathrm{AC}=x$とすると,余弦定理より,$$(40\sqrt{6})^2=80^2+x^2-2 \cdot 80 \cdot x \cdot \cos 60^{\circ}$$ゆえに,$x^2-80x-3200=0$これを解くと,$x=40 \pm 40\sqrt{3}$したがって,$x>0$より,$x=40+40\sqrt{3}$すなわち,$\mathrm{AC}=40+40\sqrt{3}$$\triangle \mathrm{ACD}$おいて,$$\mathrm{AD}=\mathrm{AC} \cdot \sin 30^{\circ} =\left(40+40\sqrt{3}\right) \cdot \frac{1}{2} =20+20\sqrt{3}$$よって,木の高さは,$\mathrm{AD}=20+20\sqrt{3} (\mathrm{m})$
% 問題I4.3.8
水平な地面に垂直に立つ木があり,木の頂点をA,その真下の地面上の点をDとする.また,地面上で互いに200m離れた2点B,Cを定め,$\angle \mathrm{ABC},\angle \mathrm{ACB},\angle \mathrm{ACD}$を測定したところ,それぞれ$75^{\circ},60^{\circ},60^{\circ}$であった.このとき,木の高さADを求めよ.
% 解答I4.3.8
$\triangle \mathrm{ABC}$において,$$\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-(75^{\circ}+60^{\circ}) =45^{\circ}$$正弦定理より,$$\frac{200}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\mathrm{AB}}{\sin 60^{\circ}}$$したがって,$$\mathrm{AB}=\frac{200 }{\sin 45^\circ} \cdot \sin 60^\circ =200 \div\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{6}$$$\mathrm{AC}=x$とすると,余弦定理より,$$(100\sqrt{6})^2=200^2+x^2-2 \cdot 200 \cdot x \cdot \cos 60^{\circ}$$ゆえに,$x^2-200x-20000=0$これを解くと,$x=100 \pm 100\sqrt{3}$したがって,$x>0$より,$x=100+100\sqrt{3}$すなわち,$\mathrm{AC}=100+100\sqrt{3}$$\triangle \mathrm{ACD}$おいて,$$\mathrm{AD}=\mathrm{AC} \cdot \sin 60^{\circ} =\left(100+100\sqrt{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =50\sqrt{3}+150$$よって,木の高さは,$\mathrm{AD}=50\sqrt{3}+150 (\mathrm{m})$