% 例題I4.3.10：正四面体の計量 （One More）★★★★
1辺の長さが$a$の正四面体OABCにおいて,辺BCの中点をMとし,$\angle \mathrm{OMA}=\theta$とする.また,頂点Oから平面ABCに垂線OHを下ろす.このとき,次の値を求めよ. (1)$\cos\theta$(2)正四面体の体積$V$(3)正四面体の内接球の半径$r$(4)正四面体の外接球の半径$R$
% 解答（例題I4.3.10）
(1)$\triangle \mathrm{OBC},\triangle \mathrm{ABC}$は1辺の長さ$a$の正三角形であるから,$\mathrm{OM}=\mathrm{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$\triangle \mathrm{OAM}$において,余弦定理より,$$\cos \theta=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2-a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$$(2)$$\sin \theta =\sqrt{1-\cos ^2 \theta} =\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$$\triangle \mathrm{OMH}$において,$\mathrm{OH} =\mathrm{OM} \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると,$S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2} a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$よって,$V=\frac{1}{3} \cdot S \cdot \mathrm{OH}=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a=\frac{\sqrt{2}}{12} a^3$(3)内接球の中心をIとすると,$$\begin{aligned} V=& (\text{三角錐IOAB})+(\text{三角錐 IOAC}) +(\text{三角錐IOBC})+(\text{三角錐IABC}) \\ =&\frac{1}{3}\triangle \mathrm{OAB} \cdot r+\frac{1}{3} \triangle \mathrm{OAC} \cdot r +\frac{1}{3} \triangle \mathrm{OBC} \cdot r+\frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC} \cdot r \\ =&\frac{1}{3}(\triangle \mathrm{OAB}+\triangle \mathrm{OAC}+\triangle \mathrm{OBC}+\triangle \mathrm{ABC})r =\frac{1}{3} \cdot 4 S r \end{aligned}$$よって,(1),(2)より,$\frac{\sqrt{2}}{12} a^3=\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot r$であるから,$r=\frac{\sqrt{6}}{12}a$(4)図形の対称性より,内接球の中心と外接球の中心は一致する. また,内接球の中心IはOH上にあるから,$\mathrm{OH}=\frac{\sqrt{6}}{3} a,\mathrm{IH}=r=\frac{\sqrt{6}}{12} a$したがって,$\mathrm{IH}=\frac{1}{4} \mathrm{OH}$となり,IはOHを$3: 1$に内分する点になる. よって,$R=\mathrm{IO}=\frac{3}{4} \mathrm{OH}=\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} a=\frac{\sqrt{6}}{4}a$
% 問題I4.3.10
四面体ABCDにおいて,$\triangle \mathrm{BCD}$は1辺の長さが4の正三角形であり,$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ},\mathrm{AD}=2$である.このとき,頂点Dから平面ABCに下ろした垂線DHの長さを求めよ.
% 解答I4.3.10
四面体ABCDの体積を$V$とする.$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$であるから,$$\mathrm{AD} \perp \text{面 BCD}$$したがって,$$V =\frac{1}{3} \triangle \mathrm{BCD} \cdot \mathrm{AD} =\frac{1}{3} \times\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \times 2=\frac{8\sqrt{3}}{3} \cdots (\mathrm{i})$$また,Aから辺BCに下ろした垂線の足をTとすると,$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\sqrt{5},\mathrm{BC}=4$であるから,$$\mathrm{AT} =\sqrt{\mathrm{AB}^2-\mathrm{BT}^2} =\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4$$ゆえに,$V =\frac{1}{3} \triangle \mathrm{ABC} \cdot \mathrm{DH}=\frac{1}{3} \times\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\times \mathrm{DH} =\frac{8}{3} \mathrm{DH} \cdots (\mathrm{ii})$(i),(ii)より,$\frac{8}{3} \mathrm{DH}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$よって,$\mathrm{DH}=\frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{8}=\sqrt{3}$
