% 例題A2.1.4：同じものを含む順列と確率 （One More）★★★
A,L,L,O,W,E,D,L,Yの9文字からいくつかの文字を取り出して,横に並べるとき,次の確率を求めよ. (1)9文字を横1列に並べるとき,どの2つのLも隣り合わない確率 (2)9文字の中から6文字を取り出して1列に並べるとき,どの2つのLも隣り合わない確率
% 解答（例題A2.1.4）
(1)A,L$_1$,L$_2$,O,W,E,D,L$_3$,Yの9文字を1列に並べる並び方は,$9!$通り Lを除いた6文字A,O,W,E,D,Yを並べ,さらに6文字 の間と両端の7箇所のうち,3箇所にL$_1$,L$_2$,L$_3$が入ればよい. したがって,どの2つのLも隣り合わない並び方は,$$6! \times { }_7 \mathrm{P}_3(\text{{通り}})$$よって,求める確率は,$$\frac{6! \times { }_7 \mathrm{P}_3}{9!}=\frac{6! \times 7 \cdot 6 \cdot 5}{9!}=\frac{5}{12}$$(2)9文字の中から6文字を取り出して1列に並べる場合の数は,${ }_9 \mathrm{P}_6(\text{{通り}})$(i)6文字のうちLが3つのとき,${ }_6 \mathrm{P}_3 \times { }_4 \mathrm{P}_3(\text{{通り}})$(ii)6文字のうちLが2つのとき,${ }_6 \mathrm{P}_4 \times { }_3 \mathrm{C}_2 \times { }_5 \mathrm{P}_2(\text{{通り}})$(iii)6文字のうちLが1つのとき,${ }_6 \mathrm{P}_5 \times { }_3 \mathrm{C}_1 \times { }_6 \mathrm{P}_1(\text{{通り}})$(iv)6文字のうちLを含まないとき,${ }_6 \mathrm{P}_6$通り よって,(i)～(iv)より,求める確率は,$$\frac{{ }_6 \mathrm{P}_3 \times { }_4 \mathrm{P}_3+{ }_6 \mathrm{P}_4 \times { }_3 \mathrm{C}_2 \times { }_5 \mathrm{P}_2+{ }_6 \mathrm{P}_5 \times { }_3 \mathrm{C}_1 \times { }_6 \mathrm{P}_1+{ }_6 \mathrm{P}_6}{{ }_9 \mathrm{P}_6}=\frac{53}{84}$$
% 問題A2.1.4
E,M,P,L,O,Y,E,Eの8文字からいくつかの文字を取り出して,横に並べるとき,次の確率を求めよ. (1)8文字を横1列に並べるとき,どの2つのEも隣り合わない確率 (2)8文字の中から5文字を取り出して1列に並べるとき,どの2つのEも隣り合わない確率
% 解答A2.1.4
(1)E$_1$,M,P,L,O,Y,E$_2$,E$_3$の8文字を1列に並べる並び方は,$8!$通り Eを除いた5文字M,P,L,O,Yを並べ,さらに5文字の間と両端の6箇所のうち,3箇所にE$_1$,E$_2$,E$_3$が入ればよい. したがって,どの2つのEも隣り合わない並び方は,$5! \times { }_6 \mathrm{P}_3(\text{{通り}})$よって,求める確率は,$\frac{5! \times { }_6 \mathrm{P}_3}{8!}=\frac{5! \times 6 \cdot 5 \cdot 4}{8!}=\frac{5}{14}$(2)8文字の中から5文字を取り出して1列に並べる場合の数は,${ }_8 \mathrm{P}_5(\text{{通り}})$(i)5文字のうちEが3つのとき,${ }_5 \mathrm{P}_2 \times { }_3 \mathrm{P}_3(\text{{通り}})$(ii)5文字のうちEが2つのとき,${ }_5 \mathrm{P}_3 \times { }_3 \mathrm{C}_2 \times { }_4 \mathrm{P}_2(\text{{通り}})$(iii)5文字のうちEが1つのとき,${ }_5 \mathrm{P}_4 \times { }_3 \mathrm{C}_1 \times { }_5 \mathrm{P}_1(\text{{通り}})$(iv)5文字のうちEを含まないとき,${ }_5 \mathrm{P}_5$通り よって,(i)～(iv)より,求める確率は,$$\frac{{ }_5 \mathrm{P}_2 \times { }_3 \mathrm{P}_3+{ }_5 \mathrm{P}_3 \times { }_3 \mathrm{C}_2 \times { }_4 \mathrm{P}_2+{ }_5 \mathrm{P}_4 \times { }_3 \mathrm{C}_1 \times { }_5 \mathrm{P}_1+{ }_5 \mathrm{P}_5}{{ }_8 \mathrm{P}_5}=\frac{5}{8}$$
