% 例題A2.1.9：じゃんけんの確率 （One More）★★★
4人でじゃんけんを行うとき,次の確率を求めよ. (1)1回のじゃんけんで,1人だけが勝つ確率 (2)1回のじゃんけんで,2人が勝ち,2人が負ける確率 (3)1回のじゃんけんで,あいこになる確率
% 解答（例題A2.1.9）
4人のじゃんけんの手の出し方は,$3^4=81(\text{{通り}})$(1)勝つ1人の選び方は,${ }_4 \mathrm{C}_1$通りであり,その勝つ1人の手の出し方は${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その場合の数は,$${ }_4 \mathrm{C}_1 \times { }_3 \mathrm{C}_1=12(\text{{通り}})$$よって,求める確率は,$\frac{12}{81}=\frac{4}{27}$(2)勝つ2人の選び方は${ }_4 \mathrm{C}_2$通りであり,その勝つ2人の手の出し方は${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その場合の数は,$${ }_4 \mathrm{C}_2 \times { }_3 \mathrm{C}_1=18(\text{{通り}})$$よって,求める確率は,$\frac{18}{81}=\frac{2}{9}$(3)あいこになる事象は,勝敗が決まる事象の余事象である.勝敗が決まる事象は,以下の3つの場合に対応する. (i)1人だけが勝つとき (1)より,その確率は,$\frac{4}{27}$(ii)ちょうど2人が勝つとき (2)より,その確率は,$\frac{2}{9}$(iii)ちょうど3人が勝つとき 勝つ3人の選び方は${ }_4 \mathrm{C}_3$通りであり,勝つ3人の手の出し方は${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その確率は,$\frac{{ }_4 \mathrm{C}_3 \times { }_3 \mathrm{C}_1}{81}=\frac{4}{27}$よって,(i)〜(iii)より,求める確率は,$$1-\left(\frac{4}{27}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27} \right)=1-\frac{14}{27}=\frac{13}{27}$$
% 問題A2.1.9
5人でじゃんけんを行うとき,次の確率を求めよ. (1)1回のじゃんけんで,1人だけが勝つ確率 (2)1回のじゃんけんで,3人が勝ち,2人が負ける確率 (3)1回のじゃんけんで,あいこになる確率
% 解答A2.1.9
5人のじゃんけんの手の出し方は,$3^5=243(\text{{通り}})$(1)勝つ1人の選び方は,${ }_5 \mathrm{C}_1$通りであり,その勝つ1人の手の出し方は${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その場合の数は,$${ }_5 \mathrm{C}_1 \times { }_3 \mathrm{C}_1=15(\text{{通り}})$$よって,求める確率は,$\frac{15}{243}=\frac{5}{81}$(2)勝つ3人の選び方は${ }_5 \mathrm{C}_3$通りであり,その勝つ3人の手の出し方は${ }_3 \mathrm{C}_1$通りであるから,その場合の数は,$${ }_5 \mathrm{C}_3 \times { }_3 \mathrm{C}_1=30(\text{{通り}})$$よって,求める確率は,$\frac{30}{243}=\frac{10}{81}$(3)あいこになる事象は,勝敗が決まる事象の余事象である.勝敗が決まる事象は,以下の4つの場合に対応する. (i)1人だけが勝つとき (1)より,その確率は,$\frac{5}{81}$(ii)ちょうど2人が勝つとき (2)と同様に考えると,その確率は,$\frac{10}{81}$(iii)ちょうど3人が勝つとき (2)より,その確率は,$\frac{10}{81}$(iv)ちょうど4人が勝つとき (1)と同様に考えると,その確率は,$\frac{5}{81}$(i)〜(iv)より,求める確率は,$$1-\left(\frac{5}{81}+\frac{10}{81}+\frac{10}{81}+\frac{5}{81} \right)=1-\frac{30}{81}=\frac{17}{27}$$
