【数学A】例題2.2.3：反復試行の確率1（One More）★★

% 例題A2.2.3：反復試行の確率1 （One More）★★
1個のさいころを5回投げるとき,次の確率を求めよ. (1)6の目がちょうど3回出る確率 (2)6の目が出る回数が4回以上である確率

% 解答（例題A2.2.3）
(1)1個のさいころを1回投げるとき,6の目が出る確率は,$\frac{1}{6}$6の目が出ない確率は,$\frac{5}{6}$よって,求める確率は,$${ }_5 \mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{6} \right)^3 \left(\frac{5}{6} \right)^2=\frac{10 \times 1^3 \times 5^2}{6^5}=\frac{125}{3888}$$(2) (i)6の目が4回出るとき$${ }_5 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{6} \right)^4 \left(\frac{5}{6} \right)=\frac{5 \times 1^4 \times 5}{6^5}=\frac{25}{7776}$$(ii)6の目が5回出るとき$$\left(\frac{1}{6} \right)^5=\frac{1}{7776}$$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$\frac{25}{7776}+\frac{1}{7776}=\frac{13}{3888}$$

% 問題A2.2.3
1個のさいころを4回投げるとき,次の確率を求めよ. (1)1の目がちょうど3回出る確率 (2)1の目が出る回数が1回以下である確率

% 解答A2.2.3
(1)1個のさいころを1回投げるとき,1の目が出る確率は,$\frac{1}{6}$1の目が出ない確率は,$\frac{5}{6}$よって,求める確率は,$${ }_4 \mathrm{C}_3 \left(\frac{1}{6} \right)^3 \left(\frac{5}{6} \right)^1=\frac{4 \times 1^3 \times 5}{6^4}=\frac{5}{324}$$(2) (i)1の目が0回出るとき$$\left(\frac{5}{6} \right)^4=\frac{625}{1296}$$(ii)1の目が1回出るとき$${ }_4 \mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{6} \right)^1 \left(\frac{5}{6} \right)^3=\frac{4 \times 1 \times 125}{6^4}=\frac{500}{1296}$$よって,(i),(ii)は互いに排反であるから,求める確率は,$$\frac{625}{1296}+\frac{500}{1296}=\frac{375}{432}$$