【数学A】例題2.2.4：反復試行の確率2（One More）★★

% 例題A2.2.4：反復試行の確率2 （One More）★★
A,Bの2人が繰り返し卓球の試合をして,先に3勝した方が優勝者とする.各試合においてAが勝つ確率は$\frac{1}{4}$で,引き分けはないものとする.このとき,Aが優勝する確率を求めよ.

% 解答（例題A2.2.4）
(i)Aが3勝0敗で優勝する確率は,$\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$(ii)Aが3勝1敗で優勝する確率は,3試合目までに2勝1敗となり,4試合目に勝つ確率であるから,$${ }_3 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{4} \right)^2 \left(\frac{3}{4} \right)^1 \times\frac{1}{4}=\frac{9}{4^4}=\frac{9}{256}$$(iii)Aが3勝2敗で優勝する確率は,4試合目までに2勝2敗となり,5試合目に勝つ確率であるから,$${ }_4 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{4} \right)^2 \left(\frac{3}{4} \right)^2 \times\frac{1}{4}=\frac{54}{4^5}=\frac{27}{512}$$よって,(i)〜(iii)より,求める確率は,$$\frac{1}{64}+\frac{9}{256}+\frac{27}{512}=\frac{53}{512}$$

% 問題A2.2.4
A,Bの2人が繰り返しカードゲームで対戦し,先に3勝した方が優勝者とする.各試合においてAが勝つ確率は$\frac{2}{5}$で,引き分けはないものとする.このとき,Aが優勝する確率を求めよ.

% 解答A2.2.4
(i)Aが3勝0敗で優勝する確率は,$\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}$(ii)Aが3勝1敗で優勝する確率は,3試合目までに2勝1敗となり,4試合目に勝つ確率であるから,$${ }_3 \mathrm{C}_2 \left(\frac{2}{5} \right)^2 \left(\frac{3}{5} \right)^1 \times\frac{2}{5}=\frac{72}{5^4}=\frac{72}{625}$$(iii)Aが3勝2敗で優勝する確率は,4試合目までに2勝2敗となり,5試合目に勝つ確率であるから,$${ }_4 \mathrm{C}_2 \left(\frac{2}{5} \right)^2 \left(\frac{3}{5} \right)^2 \times\frac{2}{5}=\frac{432}{5^5}=\frac{432}{3125}$$よって,(i)〜(iii)より,求める確率は,$$\frac{8}{125}+\frac{72}{625}+\frac{432}{3125}=\frac{992}{3125}$$