【数学I】例題1.1.14：因数分解（対称式，交代式）（One More）★★

% 例題I1.1.14：因数分解（対称式,交代式） （One More）★★
次の式を因数分解せよ. (1)$a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c^2 a+c a^2+2 a b c$(2)$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

% 解答（例題I1.1.14）
(1)$\begin{aligned} & a^2 b+a b^2+b^2 c+b c^2+c^2 a+c a^2+2 a b c \\ =&(b+c)a^2+\left(b^2+2 b c+c^2\right)a+b^2 c+b c^2 \\ =&(b+c)a^2+(b+c)^2 a+(b+c)b c \\ =&(b+c)\left\{a^2+(b+c)a+b c\right\} \\ =&(b+c)(a+b)(a+c)\\ =&(a+b)(b+c)(c+a) \end{aligned}$(2)$\begin{aligned} &a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\\ =&(b-c)a^2+b^2 c-a b^2+c^2 a-b c^2 \\ =&(b-c)a^2-\left(b^2-c^2\right)a+(b-c)b c \\ =&(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+(b-c)b c \\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+b c\right\} \\ =&(b-c)(a-b)(a-c)\\ =&-(a-b)(b-c)(c-a) \end{aligned}$

% 問題I1.1.14
次の式を因数分解せよ. (1)$(a+b)(b+c)(c+a)+a b c$(2)$a b(a-b)+b c(b-c)+c a(c-a)$

% 解答I1.1.14
(1)$\begin{aligned} &(a+b)(b+c)(c+a)+a b c \\ &=\left\{a^2+(b+c)a+b c\right\}(b+c)+a b c \\ &=(b+c)a^2+\left\{(b+c)^2+b c\right\} a+(b+c)b c\\ &=\{a+(b+c)\}\{(b+c)a+b c\} \\ &=(a+b+c)(a b+b c+c a) \end{aligned}$(2)$\begin{aligned} & a b(a-b)+b c(b-c)+c a(c-a)\\ =& a^2 b-a b^2+b c(b-c)+a c^2-a^2 c \\ =&(b-c)a^2-\left(b^2-c^2\right)a+b c(b-c)\\ =&(b-c)a^2-(b+c)(b-c)a+b c(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+b c\right\} \\ =&(b-c)(a-b)(a-c)\\ =&-(a-b)(b-c)(c-a)\end{aligned}$