【数学I】例題1.1.15：因数分解（a^3+b^3+c^3-3abcの形）（One More）★★★

% 例題I1.1.15：因数分解（$a^3+b^3+c^3-3abc$の形） （One More）★★★
(1)$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$であることを用いて,$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ. (2)$x^3+y^3+3xy-1$を因数分解せよ.

% 解答（例題I1.1.15）
(1)$\begin{aligned} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\{(a+b)^3+c^3\}-3ab(a+b)-3abc =&(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c)\\ =&(a+b+c)\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab\}\\ =&(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{aligned}$別解：$\begin{aligned} & a^3+b^3+c^3-3 a b c \\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\{(a+b)^3+c^3\}-3ab(a+b)-3abc\\ =& \{(a+b)+c\}^3-3(a+b)c\{(a+b)+c\}-3 a b(a+b+c)\\=&(a+b+c)\left\{(a+b+c)^2-3(a+b)c-3 a b\right\} \\=&(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)\end{aligned}$(2)$\begin{aligned} &x^3+y^3+3xy-1\\ =& x^3+y^3+(-1)^3-3x \cdot y \cdot (-1)\\ =& \{x+y+(-1)\}\{x^2+y^2+(-1)^2-x \cdot y-y \cdot (-1)-(-1) \cdot x\}\\ =&(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1) \end{aligned}$

% 問題I1.1.15
次の式を因数分解せよ. (1)$p^3+q^3+3pq-1$(2)$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$

% 解答I1.1.15
(1)$\begin{aligned} &p^3+q^3+(-1)^3+3pq\\ =& p^3+q^3+(-1)^3-3p \cdot q \cdot (-1)\\ =& \{p+q+(-1)\}\{p^2+q^2+(-1)^2-p \cdot q-q \cdot (-1)-(-1) \cdot p\}\\ =&(p+q-1)(p^2+q^2-pq+p+q+1) \end{aligned}$(2)$x-y=a,y-z=b,z-x=c$とおく.$a+b+c=(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$より,$$\begin{aligned} &(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 \\ &=a^3+b^3+c^3 \\ &=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)+3 a b c \\ &=3 a b c \\ &=3(x-y)(y-z)(z-x) \end{aligned}$$