% 例題I1.2.9：整数部分と小数部分 （One More）★★★
$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とする. (1)$a,b$の値を求めよ. (2)$a^2+a b$の値を求めよ.
% 解答（例題I1.2.9）
(1)$\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}$$2<\sqrt{5}<3$であるから,$5<3+\sqrt{5}<6$したがって,$\frac{5}{4}<\frac{3+\sqrt{5}}{4}<\frac{3}{2}$ゆえに,$a=1$よって,$$b=\frac{3+\sqrt{5}}{4}-a=\frac{3+\sqrt{5}}{4}-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$(2)(1)より,$$a^2+ab=a(a+b)=1 \cdot \frac{1}{3-\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$$
% 問題I1.2.9
$\frac{3}{4-\sqrt{7}}$の整数部分を$a$,小数部分を$b$とする. (1)$a,b$の値を求めよ. (2)$a+\frac{1}{b}$の値を求めよ.
% 解答I1.2.9
(1)$\dfrac{3}{4-\sqrt{7}}=\dfrac{3(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}$$2<\sqrt{7}<3$であるから,$6<4+\sqrt{7}<7$したがって,$\frac{6}{3}<\frac{4+\sqrt{7}}{3}<\frac{7}{3}$ゆえに,$a=2$よって,$$b=\frac{4+\sqrt{7}}{3}-a=\frac{4+\sqrt{7}}{3}-2=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$(2)(1)より,$$a+\frac{1}{b}=2+1\div\left(\frac{\sqrt{7}-2}{3}\right)=2+\frac{3}{\sqrt{7}-2}=2+\frac{3(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}={4+\sqrt{7}}$$
