% 例題I2.1.5：3つの集合の共通部分,和集合 （One More）★★
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$を全体集合とする.$U$の部分集合$A,B,C$を$A=\{n \mid n \text{ は 12 の正の約数}\},B=\{n \mid n \text{ は 奇数}\},C=\{n \mid n \text{ は 10の正の約数}\}$とするとき,次の集合を求めよ. (1)$A \cap B \cap C$(2)$(A \cup B)\cap C$(3)$(A \cap C)\cup(B \cap C)$(4)$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
% 解答（例題I2.1.5）
$A=\{1,2,3,4,6,12\}, B=\{1,3,5,7,9,11\}, C=\{1,2,5,10\}$であり,与えられた条件をもとに,$U,A,B,C$をベン図で表すと.下の図のようになる. (1)$A \cap B \cap C$は,$A,B,C$の共通部分であるから,$$A \cap B \cap C=\{1\}$$(2)$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,9,11,12\}$より,$$(A \cup B)\cap C=\{1,2,5\}$$(3)$A\cap C=\{1,2\},B\cap C=\{1,5\}$より,$$(A \cap C)\cup(B \cap C)=\{1,2,5\}$$(4)ド・モルガンの法則より,$$\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}=\overline{A \cup B \cup C}=\{8\}$$
% 問題I2.1.5
$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$を全体集合とする.$U$の部分集合$A,B,C$を$A=\{n \mid n \text{ は 10 の正の約数}\},B=\{n \mid n \text{ は 偶数}\},C=\{n \mid n \text{ は 14の正の約数}\}$とするとき,次の集合を求めよ. (1)$A \cap B \cap C$(2)$(A \cup B)\cap C$(3)$(A \cap C)\cup(B \cap C)$(4)$\overline{(\overline{A} \cap \overline{C})\cup(\overline{B} \cap \overline{C})}$
% 解答I2.1.5
$A=\{1,2,5,10\}, B=\{2,4,6,8,10,12,14\}, C=\{1,2,7,14\}$であり,与えられた条件をもとに,$U,A,B,C$をベン図で表すと.下の図のようになる. (1)$A \cap B \cap C$は,$A,B,C$の共通部分であるから,$$A \cap B \cap C=\{2\}$$(2)$A\cup B=\{1,2,4,5,6,8,10,12,14\}$より,$$(A \cup B)\cap C=\{1,2,14\}$$(3)$A\cap C=\{1,2\},B\cap C=\{2,14\}$より,$$(A \cap C)\cup(B \cap C)=\{1,2,14\}$$(4)ド・モルガンの法則より,$$\begin{aligned} \overline{(\overline{A} \cap \overline{C})\cup(\overline{B} \cap \overline{C})}&=\overline{(\overline{A} \cap \overline{C})} \cap \overline{(\overline{B} \cap \overline{C})}\\ &=(\overline{\overline{A}} \cup \overline{\overline{C}})\cap(\overline{\overline{B}} \cup \overline{C})\\ &=(A \cup C)\cap(B \cup C)\\ &=(A \cap B)\cup C\\ &=\{1,2,7,10,14\} \end{aligned}$$
