% 例題I2.1.6：集合の包含関係・相等の証明 （One More）★★★★
$\mathbb{Z}$を整数全体の集合とするとき,次のことを証明せよ. (1)$A=\{6 x+1 \mid x \in \mathbb{Z}\},B=\{3 x+1 \mid x \in \mathbb{Z}\}$であるとき,$A \subset B$かつ$A \neq B$(2)$A=\{4 x-3 y \mid x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}\},B=\{5 x+2 y \mid x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}\}$であるとき,$A=B$
% 解答（例題I2.1.6）
(1)$\alpha\in A$とすると,$\alpha=6 x+1$$(x \in \mathbb{Z})$と表すことができる. このとき,$\alpha=3\times 2x+1$と表されるので,$2x=y$とおくと,$\alpha=3y+1(y \in \mathbb{Z})$したがって,$\alpha\in B$よって,$\alpha\in A$ならば,$\alpha\in B$が成り立つから,$A\subset B$また,$4 \in B$であるが$4 \notin A$であることから,$A \neq B \blacksquare$(2) (i)$\alpha\in A$とすると,$\alpha=4x-3y(x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z})$と表すことができる.$4=5 \times 0+2 \times 2,3=5 \times 1+2 \times(-1)$より,$$\alpha =(5 \times 0+2 \times 2)x-\{5 \times 1+2 \times(-1)\} y =5\times (-y)+2(2x+y)$$$x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}$より,$-y\in \mathbb{Z},2x+y \in \mathbb{Z}$であるから,$\alpha \in B$したがって,$A \subset B$が成り立つ. (ii)$\beta\in B$とすると,$\beta=5 x+2 y(x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z})$と表すことができる.$5=4 \times 2 +3 \times(-1),2=4 \times(-1)+3 \times 2$より,$$\beta=\{4 \times 2+3 \times(-1)\}x+\{4 \times(-1)+3 \times 2\} y =4(2 x-y)-3(x-2 y)$$$x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}$より,$2 x-y \in \mathbb{Z},x-2 y \in \mathbb{Z}$であるから,$\beta \in A$したがって,$B \subset A$が成り立つ. よって,(i),(ii)より,$A\subset B$かつ$B\subset A$であるから,$A=B$が成り立つ.$\blacksquare$
% 問題I2.1.6
$\mathbb{Z}$を整数全体の集合とするとき,次のことを証明せよ. (1)$A=\{6 x+5 \mid x \in \mathbb{Z}\},B=\{3 x-1 \mid x \in \mathbb{Z}\}$であるとき,$A \subset B$(2)$A=\{5 x+2 y \mid x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}\},B=\{4 x+3 y \mid x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}\}$であるとき,$A=B$
% 解答I2.1.6
(1)$\alpha \in A$とすると,$\alpha=6 x+5$$(x \in \mathbb{Z})$と表すことができる. このとき,$\alpha=6(x+1)-1=3 \cdot 2(x+1)-1$$2(x+1)=y$とおくと,$\alpha=3 y-1(y \in \mathbb{Z})$したがって,$\alpha \in B$よって,$\alpha \in A$ならば$\alpha \in B$が成り立つから,$A \subset B$$\blacksquare$(2) (i)$\alpha\in A$とすると,$\alpha=5x+2y(x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Z})$と表すことができる.$5=4 \times 2+3 \times(-1),2=4 \times(-1)+3 \times 2$より,$$\alpha =\{4 \times 2+3 \times(-1)\} x+\{4 \times(-1)+3 \times 2\} y =4(2x-y)+3(-x+2y)$$$x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}$より,$2x-y\in \mathbb{Z},-x+2y \in \mathbb{Z}$であるから,$\alpha \in B$したがって,$A \subset B$が成り立つ. (ii)$\beta\in B$とすると,$\beta=4 x+3 y(x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z})$と表すことができる.$4=5 \times 0+2 \times 2,3=5 \times1+2 \times(-1)$より,$$\beta=\{5 \times 0+2 \times 2\} x+\{5 \times 1+2 \times(-1)\} y =5y+2(2x-y)$$$x \in \mathbb{Z},y \in \mathbb{Z}$より,$2x-y \in \mathbb{Z}$であるから,$\beta \in A$したがって,$B \subset A$が成り立つ. よって,(i),(ii)より,$A\subset B$かつ$B\subset A$であるから,$A=B$が成り立つ.$\blacksquare$
