% 例題I3.1.9：2次関数の平行移動と対称移動 （One More）★★★
放物線$y=a x^2+b x+c \cdots (\mathrm{i})$を$x$軸方向に$1,y$軸方向に$5$だけ平行移動し,さらに$y$軸に関して対称移動すると,放物線$y=2 x^2+8 x+3 \cdots (\mathrm{ii})$になった.このとき,定数$a,b,c$の値を求めよ.
% 解答（例題I3.1.9）
(ii)を$y$軸に関して対称移動した放物線の方程式は,$$y=2(-x)^2+8(-x)+3$$すなわち,$y=2x^2-8x+3 \cdots (\mathrm{iii})$(iii)を$x$軸方向に-1,$y$軸方向に-5だけ平行移動するから,$$y+5=2(x+1)^2-8(x+1)+3$$すなわち,$y=2x^2-4x-8$よって,$y=2x^2-4x-8$が(i)と一致するから,係数を比較すると,$$a=2,b=-4,c=-8$$別解：(i)のグラフを$x$軸方向に$1,y$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線の方程式は,$y-5=a(x-1)^2+b(x-1)+c$したがって,$y=ax^2+(b-2a)x+a-b+c+5$$y$軸に関して対称移動すると,$$y=a(-x)^2+(b-2a)(-x)+a-b+c+5$$ゆえに,$y=ax^2+(2a-b)x+a-b+c+5$したがって,$y=ax^2+(2a-b)x+a-b+c+5$が(ii)と一致するから,係数を比較すると,$a=2,2a-b=8,a-b+c+5=3$よって,これを解いて,$a=2,b=-4,c=-8$
% 問題I3.1.9
放物線$y=a x^2+b x+c \cdots (\mathrm{i})$を$x$軸方向に$2,y$軸方向に$5$だけ平行移動し,さらに$y$軸に関して対称移動すると,放物線$y=2 x^2+8 x+3 \cdots (\mathrm{ii})$になった.このとき,定数$a,b,c$の値を求めよ.
% 解答I3.1.9
(ii)を$y$軸に関して対称移動した放物線の方程式は,$$y=-(-x)^2+6(-x)+4$$すなわち,$y=-x^2-6x+4 \cdots (\mathrm{iii})$(iii)を$x$軸方向に$-2,y$軸方向に$3$だけ平行移動するから,$$y-3=-\left(x+2\right)^2-6(x+2)+4$$すなわち,$y=-x^2-10x-9$よって,$y=-x^2-10x-9$が(i)と一致するから,係数を比較すると,$$a=-1,b=-10,c=-9$$別解：(i)のグラフを$x$軸方向に$2,y$軸方向に$-3$だけ平行移動した放物線の方程式は,$y+3=a(x-2)^2+b(x-2)+c$したがって,$y=a x^2+(b-4a)x+(4a-2b+c-3)$$y$軸に関して対称移動すると,$$y=a(-x)^2+(b-4a)(-x)+(4a-2b+c-3)$$ゆえに,$y=ax^2+(4a-b)x+(4a-2b+c-3)$したがって,$y=ax^2+(4a-b)x+(4a-2b+c-3)$が(ii)と一致するから,係数を比較すると,$a=-1,4a-b=6,4a-2b+c-3=4$よって,これを解いて,$a=-1,b=-10,c=-9$
